274 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. März 1911. — Mitth. v. 1. Dec. 1910. 



§5- 

 Dass man für die Wertlie von •/. zwischen o vmd i die Grösse a 

 in eine Potenzreilie von x. entwickeln kann: 



Ä = ^ (x) =■ a^-ha,-i- fljX' + etc.. 



geht unmittelbar aus dem Ausdruck von — a durch das Integral her- 

 vor; aber einfacher bestimmen sich die Coefficienten durch die Diffe- 

 rentialgleichung D(ci.) :^ o, der u genügt; a„ ist gleich i, da i/ ^ i 

 wird fiir x = o. 



Setzt man ip = x", so wird 



D{<p) = (i/iYk'"" — (2 >i -h ly y." ; * 



setzt man a =:^ö„x", so wird demnach: 



D(a.) = ]^((2?«+ 2Y(l„^, — (2n-^-lYa„)K". 



Da D{a) = o ist, so muss 



(2n-i- 2ya„_^^ = (2/iH- i)'r7„ 

 sein; die Reihe ^(x) ist folgende 



X -4- • - X" -t- etc. 



Es ist dies eine Potenzreihe mit positiven Coefficienten, conver- 

 gent bis zum Punkte x = i hin, aber nicht mehr für x = i. wo u 

 unendlich wird. 



Die Function y, die in der ganzen Strecke von — oo bis i regulär 

 ist, und die für x ^ o verschwindet, lässt sich nun ebenfalls für kleine 

 Werthe von x in eine Potenzreihe ^P(x) entwickeln. Die Coefficienten, 

 abgesehen von dem constanten Gliede, welches o ist, sind ebenfalls 

 positiv, und die Reihe convergirt ebenfalls bis zu x =: i hin, sogar 

 noch für x = i . Es ist dies ein Weieesteass 'scher Satz, bewiesen mit 

 Hülfe der Thetareihen im zweiten Band der Werke von Weiersteass, 

 S. 266. Icli lirauche hier noth wendig einen elementaren Beweis und 

 stütze mich auf folgenden Hülfssatz: 



Wenn A und B Potenzreihen von x mit positiven Coefficienten sind: 



