vSchottky: GAiiss'sche Theorie- der elliptischen Functionen. 275 



SO ist der Quotient beider el)enf;ills als Potenzreihe mit positiven 

 Coefficienten darstellbar 



converoent, mindestens soweit der Zähler conA'era'irt, falls ""*"' mit 



wachsendem a zunimmt und kleiner ist als ""*"' . 



Denn aus diesen Voraussetzungen folgt, dass, für m < n, 



positiv ist. Nun ist nach den Gleichungen, durch welche die Coeffi- 

 cienten c bestimmt werden, 



Daraus folgt: 



"o !>„ ''„ + , = "^ ( ('m f'„ +1 ''m + 1 '''») ^,1 - m • 



Wenn daher alle Coefficienten bis zu r„ positiv sind, so ist auch 

 f"„+, positiv. 



Daraus folgt, dass alle Coefficienten c positiv sind ; es folgt ferner, 

 dass ö^+iX^o^n+i ist, dass also die Reihe C convergirt, wenn B con- 

 vergent ist. 



Setzen wir für A die Reihenentwicklung von a, für B die Binomial- 



entwicklune- von - , , so ist 



l/i — X 



2 /( -4- I Y b„_^, 2ra-f-I 



2 « -t- 2 y ' h„ 2 II. -hl 



Die Bedingungen des Hülfssatzes sind hier offenbar erfüllt. Folglich 



I 

 ist — , für die Wertlie von x zwischen o und i in eine con- 



ctVi—y. 



vergente Potenzreihe mit positiven Coefficienten entwickelbar. 



Dasselbe muss gelten von dem Quadrat des Ausdrucks, ferner von 



■(-^^-^ 



4 y -/< ( I — x) Ä X 



tuid von dem Integral dieser Function, also von 7. 



