276 Sitzung der phys.-inath. Classe v. 2. März 1911, — Mitth. v. l.Dec. 1910. 



Die Reihenentwicklung y = *P(x) convergirt auch noch für ■/. = i 

 und es ist ^(i) = log(2). Denn innerhalb des Intervalls von o bis i 

 besteht die Gdeichung 



Bei der Annäherung von •/. an i wird oo unendlicli klein, und der 

 Logarithmus wird gleich — 4 log (2); es Utähert sich daher ^(x) dem 

 Werthe log (2). Da nun '!]3(>c), als Potenzreihe mit positiven Coeffi- 

 cienten, eine zuneliniende Function ist, so muss, vor dem Endpunkte i , 

 *P(x) kleiner als log(2) sein. Um so mehr muss, für o < x. < i , die Summe 

 der ersten n Glieder von ^(x) kleiner als log (2) sein. Dann kann 

 diese ganze Function von k wegen ihrer Stetigkeit auch für x, ^ i 

 nicht grösser als log (2) sein. P's ist daher die Summe der ersten 

 « Glieder von ^ ( I ) , wie gross man auch n nehmen mag, kleiner als 

 log(2); das heisst: es ist 'iP(i) convergent und ^log(2). 



Andrerseits ist, wenn x vor dem Werth i liegt, '!P(i) > ^P(x). 

 -^(x) kann aber dem Werthe log(2) beliebig nahe gebracht werden; 

 daher ist ^5(i)^log2. Daraus folgt: '!P(i) = log(2). 



Betrachten wir q als abhängig von a, b. Wir haben dann 



2'' 



wo •/, = - — ist. Aber diese Darstellung gilt nur, wenn // < 20° 

 a 



ist; ist // grösser, so wird x kleiner als — i und die Reihe divergirt. 



Ersetzen wir u durch , b durcli yab, und demnach 



2 



a" — h' ( a — b 



durch 



a" \a-\-b 



so erhalten wir nicht q, sondern q'. q selbst ist demnach; 



2 



wo A die (Jrösse 



a — b I — ]/i — X 



a + b n_ ]/ 1+ ^ 



bedeutet. Diese zweite Form ist bei beliebigen positiven Werthen von 

 <i und b, also in Bezug auf ■/. innerhalb der ganzen Strecke von — 00 

 bis -f- I , convergent. 



