ScHOTTKv: GAUss'sche Theorie der elliptisclien Functionen. zl I 



Wir können dieselbe Transformation noch einmal vornehmen. 

 Dann geht A in das Quadrat von 



_ ]/a — ]/h _ 1—1/7^^^ 

 I + Kl — V. 



über, und es wird 



q = —!xe^ 



%^ ist eine Potenzreihe ohne constantes Glied, im übrigen mit posi- 

 tiven Coefficienten, und es ist ^(i) = log2, also kleiner als i. Da 

 hiernach %S{ij.^)<iij.^ ist, so ist der Exponentialfactor zwar grösser als 

 I, aber kleiner als 



I 



ist. u^ selbst ist kleiner als , wenn das Verhältniss von a zu h 



lOOO 



zwischen 2 und — liegt. Demnach stellt 



j^ _ I ya—Yb 

 T'''~Tya^yb 



einen Näherungswerth von q dar, der sich von dem wirklichen Werth 

 um weniger als den tausendsten Theil desselben unterscheidet, wenn 

 die grössere der beiden Zahlen a, b kleiner ist als das Doppelte der 

 kleineren. 



§ 7. 

 Es handelt sich jetzt um die Darstellung von S- und S-, durch 

 FouRiER'sche Reihen. Wir nehmen dabei x. zwischen o und i an, 

 so dass auch q eine positive Grösse zwischen o und i ist. S- ist 

 gerade, S-, ungerade ; S^ bleibt ungeändert, S^, geht in — S-, über, wenn 

 man v um tt vermehrt. Die Form der Reihen ist daher diese: 



S-(ü) = A^-h lA^ 00s {2v)-h 2A^ cos {4.V) -+- etc. 

 S-,(ü) = 2B^sm(v)-i- 2B^s'm(^v)-i-etG. 



Setzt man die Reihen in die Differentialgleichung -^^-^-4^ -^— = o 



ein, der beide Functionen genügen, so erhält man füvA,,, die Bestimmung 



dA^ . A 



43'— — = m A,„. 



