Scmojtky: GAUss'sche Theorie der elliptischen Fiinctiüiien. 2(9 



Dann ist 



P= '^ A„,A„ cos?n{v-i-v') cos ti{v — v'). 



(,« . n ge,-.) 



Wir können dafür schreiben : 



P = '^A,„A„ cos {{m -^ n) -i- {m — ?i)t'') , 



und hierfür: 



P = ^ Ä^A„ cos ({m + ?i) v) cos ({m — n) v') . 



Denn die Differenz des ersten und zweiten Ausdrucks 

 '^A,„A„ sin m{v -i- v'} smn(c — v') 



[m.v gc,-.) 



ist gleich o, wie man erkennt, indem man n mit — n vertauscht; die 

 des zweiten und dritten 



^ A,„A„ sin {{m + )i) c) sin {(m — n)o') 



(,«.«ger.) 



ebenfalls, wie sich ergiebt, wenn man m mit n vertauscht. — ■ Demnach 

 ist, wenn man ?» = A -f- ju, n = A — jjl setzt : 



P= ^A^^^A^_^ cos(2A?;) cos(2|Wjj'), 



und die Summation ist zu erstrecken erstens über alle Paare gerader, 

 zweitens über alle Paare ungerader Zahlen A , jj.. Danach zerfcällt die 

 Summe in zwei Theile: den ersten, wo A, jj, gerade Zahlen sind, be- 

 zeichnen wir mit L, den zweiten mit M: 



P = L-hM. 



L bleibt una-eändert, 31 areht in — M über, wenn man v um , 



und auch, wenn man v' um vermehrt. 



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Betrachten wir P , L , M als Functionen von v allein: P = P{o), 

 L = L(v) , M = M(v). L{v) und M{v) lassen sich linear ausdrücken 

 durch das Product P(ü), und ein zweites, das aus P{v) entsteht, indem 

 man v' durch einen andern Werth ersetzt. Unter den Functionen, die 

 sich so ausdrücken lassen, sind nur zwei linear unabhängige. Nun 



haben aber L{v) und 31 (v) die besonderen Eigenschaften: iylt'H — 



= L(v) , 3I\r-i — j = — M(c); dadurch sind sie bestimmt, jede bis auf 



einen von v unabhängigen Factor. Da ausserdem L und M symmetrisch 

 sind in Bezug auf v und v', so können wir setzen: 



