ScHOTiKv: GAfss'sche Tlieoric der elliptischen Functionen. 281 



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 Zugleich ist damit gefuiideu, dass C^ =: q" , und dass, wenn A,,a 



ungerade Zahlen sind, 



ist. Hiernach ist es erlaubt, 1), = <p zu setzen. Dann ist s = — i, 

 und es besteht die Gleichung: 



^(v+i-')'^{p — v') = *i(w)v)(r') — ),,(»)»), (ü') , 



>.^ 

 wo Yi(r) die Summe ^y' cos (2 Ar) ist, erstreckt über alle geraden 



Zahlen X,-^^{v) dieselbe Summe, erstreckt über die ungeraden Zahlen. 

 Es bleibt noch die EntAvieklung von S-i(y) zu finden. Das Pro- 

 duct <r^{v + v')^,(o — ^'') lässt sich ebenfalls linear durch 7i(r),vi,(») 

 ausdrücken; da es aber fiir v ^= v' verschwindet, so muss 



:&,(<5-Hr')C-r,(r — ü') mit >]((;)■,],(«;') — >i,(ü))i(ü') 



identisch sein — abgesehen liöchstens von einem Factor, der von v 

 und offenbar auch von r' unabhängig ist. 



Nun ist nach der Deiinition von Vj und ■^,: 



>. - + u' 



•/](r)-/l,(i'') — 1, (»)■'!('■') =^(—1)'?^ ' cos(2Ai;) cos {2 ixv' ) , 



die Summe erstreckt über alle Zahlenpaare A,/>i, bei denen die eine 

 gerade, die andere ungerade ist. Setzen wir A-+-|W = '/«,A — fx = n, 

 so sind in , n ungerade Zahlen, und wir erhalten: 



yi(v)yi, (»' ) — »i, {v)yi{v') = ^ (— i) ^ q "^ cos ({m-hn) o) cos ({m — n)v'). 



Dafür können wir setzen : 



^( — i) ^ q ^ cos {(?n-t-n)v-i-{m — n)v'), 



und dafilr: 



"^ ( — I ) ^ ( — I )~' 9 * sin {m{o -+■ v')) sin {>i(v — c')) . 



Hier haben wir direct 



>)(r)»),(i;') — >],(«)>) (6-') = ^,(v-hv')^,{ü — v'); 

 S-, (ö) ist die Summe 



^A^-') =^{—^)^~q^ sin(w?r) 



z= 2q* sin (r) — 2q^ sin (3r) + etc. , 

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