ScHOTTKv: OAUSs'sche Theorie der elliptischen Functionen. 285 



man, die schönen Reihen zum Ausgangspunkt nehmend, dureli ein 

 consequentes, fast allzu sehematisches Verfahren, zu den Grundfornieln 

 der Theorie der elliptischen Functionen zurückkehrt. Für uns kommt 

 noch ein zweiter Punkt hinzu. Die Entwicklung von 3- und 3-, be- 

 ruhte — bei der hier durchgeführten Untersuchung — auf dem Fou- 

 RiERSchen Satz, der nicht zu den elementaren Hülfsmitteln der Ana- 

 lysis gehört. Die Lösung des JACOBi'schen Problems aber hat die 

 Kraft, die erhaltenen Restdtate zu verificiren. 



Wir wollen, indem wir die alte Aufgabe von Neuem vornelunen, 

 von Jacobi in zweifacher Weise abweichen; erstens dadurch, dass wir 

 uns auch hierbei ganz auf reelle Grössen beschränken, und zweitens 

 dadurch, dass wir alle Grundgleichungen, z. B. auch die Gleichung 

 D{ot,) = o, direct als Folgen bestimmter Thetarelationen nachweisen. 

 Dabei benutzen wir allerdings auch die partielle Diiferentialgleichung 



-;=— ^ •+• 4 <7 ^T^ = O' der, wie man ohne Weiteres sieht, alle vier Tlieta- 

 ö f" öq 



reilien, und auch ihre sämmtlichen Ableitungen nach /•, genügen. 



Wir gehen aus von den detinirenden Gleichungen 



9-(r) =N ( — i) ^^ q~ cos (mv) , 



'^Av) = ^ (— I ) ^~ ^^ sin (m r) , 

 und bilden 9-(r-+-»')S-(t' — v'). Den ursprünglichen Ausdruck 

 V ( — i) = q 4 cos (?«(» + »')) cos {n{ü — c')) 



{m,ngeT.) 



können wir ersetzen durch 



'+H-' 



V( — i) ^ q ^ cos {{tn -i- )i) V -t- {tu — n)c') 



(m , n ger.) 



inid diesen durch 



^( — i) ' q •» cos (w;-4-y/)r cos (m — n)o'; 



{,„.,, gtv.) 



denn es zeigt sich beide Mal, dass die Differenz gleich o ist. Es sei nun 

 m = A + ;-'. , /i, = 'A — ijL. Dann sind A, /a ganze Zahlen, und zwar beide 

 gerade oder beide ungerade. Wir erhalten somit für ^{c -i- v')^(v — r') 

 einen Summenausdruck, der aus zwei Theilen besteht; jeder der beiden 

 Theile hat die Form 



]^ ( — I )' 7 "^ cos (2Xv) cos {2UI-') , 



