Schoiiky: GAi'ss'sche Tlieorie der elliptischen Functionen. 287 



die Summation erstreckt über alle Zahlenpaare m , n, deren Differenz 

 ungerade ist. Man sieht sofort, indem man m-\-n = K, ni — n = /u 

 setzt, dass dies zerfällt in das Product einer Function von o mit 

 einer von«'. Von dem zweiten Bestandtheil gilt dasselbe. Es ist daher 

 auch ^{v-i-r')^,{ü — «') linear und homogen ausdrückbar durch zwei 

 Functionen von o allein, mit Coefficicnten, die von c' abhängen. 

 Um die Hülfsfunctionen >] , >), , die in den Gleichungen 



S-(ü-Hü')S-(v — v') = yi{v)Yi{D') — y\,{o)yi,(v') 

 S-, (?' + «') 9-, (w — ;?') = vi(ü)v),(«;') — *),(ü)vi(ü') 



vorkommen, zu eliminiren, setzen wir erst eine, dann beide Veränder- 

 lichen gleich o. Aus den Formeln, die wir so erhalten: 



^'(v) = *i(o)»(;') — v),(o)*),(r), 

 ^"M = >1,(0)*)(P) — >1(0) >],(<)), 



&=(o) = -/i^(o)-^:(o) 

 folgt, dass 



ist. Dazu tritt noch eine dritte Gleichung. Zwischen ^(r-^ v')^,(v — v'), 



S-(t')S-,(ü) und Srit-l jS'il'" )= — S'jI'OS'sC'') muss eine lineare 



Gleichung bestehen, da alle drei Producte sich durch dieselben beiden 

 Functionen von r allein ausdrücken lassen; die Coefficienten bestimmen 

 sich, indem man v = o und v = v' setzt; man erhält: 



III. ^,(0)^^i0)^{v-\-v')^,{v—D') = :^{v)^,{vp,{v')^^(v') — ^,{0)^^{v)^{D')^,iv' 



Zu den drei Hauptgieichungen treten nun eine Anzahl von spe- 

 ciellen; zunächst die folgenden: 



IV. ^'{opl(D) = ^l(o)^'{c) — ^l(o)^:{v) , 



V. ^'(o)^:(i') = ^yl{o)^'(v) — mo)^]iv) , 



VI. S^o) = &^(o) — &J(o), 



die sich aus I und II ergeben, wenn man erst r', dann aucli noch v 



gleich setzt. Ferner folgt aus III, indem man v' = — c annimmt: 



^,{2v) _ ^Av) ^M Hi^ 

 2 &,(«;) "~ ^,(o)'^3(o)*&(o) ■ 



Wenn man den Ausdruck auf der rechten Seite nach Potenzen von v 

 entwickelt, so ist der Coefficient von v' : 



I fXio) . C-3"(o) _^ -"(o) 



2 V S-j(o) S'alo) &(0) 



