Schiitiky: Gauss "scIie Tlieorie der elliptischen Functionen. 289 



Jetzt führen wir die elliptische Function x=f{u) ein, indem wir setzen: 



XI. - - - = xVy. , M = ar . 



Dann fährt die Formel VIII zu der Differentialgleichung 



XII. (;^^y = (.-.=)(. -x.r 



Aber das Verfahren ist damit noch nicht abgeschlossen. Wir 

 diff'erenziren die Gleichung IV zweimal nach v und setzen dann v ^ o. 

 Wir erhalten dann zunächst: 



und daraus, indem wir 



&;'(o) durdi -^q'^l, &"(o) durch -4«^^, 



aq (Iq 



&;(o) durch ^,(o)&3(o)^(o) 

 ersetzen : 



Da 



S-:(o) = xoL% "^KO) = ci\ ^^O) = (l —%)ol,' 



ist, so erhalten wir 



d 

 äq 



^^^''S[j^~j=->^ci\ 



oder : 



XIII. ^'^ '^"^ 



q /. ( I — x)ci' 



Dazu treten zwei Folgerungen aus der Gleicliung I. Wir diffe- 

 renziren sie zweimal nach v und setzen dann ^5 := o; wir erhalten so: 



^no)(C^(2;)&"(r)-(&'(r)r) = &(o)&"(o)£-^(r)-(^:(o)y&;(^). 



Wir diff'erenziren auch diese zweimal nach r, setzen v = o und erlialten: 



&'(o) (&(o)&""(o) - 3(&"(o))') = - 2 (&:(o)y . 



Die eine dieser Gleichungen giebt die Beziehung der Function C- zur 

 Bogenfunction s, die andere liefert die Diiferentialgleichung für u. 

 beides in sehr versteckter Form. Es ist 



