Schottky: GAuss'sclie Tlieorie der elliptischen Functionen. 2!)1 



Die erste Gleichung aber können wir so schreiben: 



cinogß) p 



f~- — = hl — x.x^ 



dv Ä 



und indem wir integriren: 



XV. ,V = ^M+- --. 



flt ^ du 



Dabei ist: 



« S-(o) dy. 



I da, 

 a. dx. 



somit 



doo 

 XVI. p = 2 X ( I — x) 1- ( I — >c) ot . 



Es fragt sich jetzt, was durch alle diese Rechnungen erreicht ist. 

 Wir h;iben die Differentialgleichung Z)(a) =: o, die in der Formel XIV 



enthalten ist, und zwar ist u = —===■ diejenige liösung derselben, 



KI — y. 

 die gleich i wird für v. = o. Es ist ferner q diejenige Lösung der 

 Gleichung 



dq dx. 



die der Bedingung 



q x(i — y.)oC 



29' .... 



— i— = I für X = 



genügt. Es sind demnach a und q genau dieselben Functionen von 

 X , X genau dieselbe von u und x , die vor der Aufstellung der Tlieta- 

 reihen betrachtet wurden. Damit ist die Darstellung der Function 

 X = f(u) durch Thetareihen von der Anwendung des FouRiER'schen 

 Satzes unabhängig gemacht. — 



Wenn man imaginäre Werthe zulässt, kann man schreiben: 



Hv)=^{-i)^q"i,-"\ 



i^rif^l =X ("') ^'q^e'"". 



Diese Summen werden in die ursprünglichen Ausdrücke über- 

 geführt, indem man je zwei Glieder, die zu entgegengesetzten Zahlen 

 gehören, zusammenfasst. Es ist leicht zu erkennen, dass sie auch l)ei 



