292 Sitzung der pliys.-innth. Classe v. 2. Mäiv. 1911. — Mitth. v. 1. Dee. 1910. 



imaginären Wertlien von v und q convergent sind, mit der einzigen 

 Beschränkung, dass der absolute Wertli von q kleiner als i sein muss. 

 Die neuen Ausdrücke zeigen ausserdem, dass die elliptische Function 

 f(u) eine doppelte Periodicität liat. Krsetzt man n durch ii-h2, so 

 erhält man: 



Sr(r) = —qe'"^ {— i)- qT {qe'J . 



Daher ist, für q = e"': 



^{v) = — qe'"''^{v — iw) . 



Dieselbe Gleichung gilt für Sr,(t')- Daraus geht Iiervor, dass der 

 Quotient der beiden Theta ungeändert bleibt, wenn man c um iw ver- 

 mindert oder vermehrt. Führt man eine (irösse fo ein durch die 



-r/3 

 Gleichung w = , so bleibt das Quadrat des Thetaquotienten un- 

 geändert, sowohl wenn man r um -, als auch wenn man v- um 



a 



vermehrt; x''=f'(t() bleibt ungeändert, wenn man -a., aber auch wenn 

 man Triß zu u hinzufügt. 



Ersetzt man in den beiden Reihen n durch « -f- i , so erhält man 

 die nothwendig imaginäre Transformation, durch welche die beiden 

 Theta in einander übergeführt werden : 



iS-,(r) = q^ e'"S-(» — 



^9- 



B 



Die logarithmische Modulfunction w = — - — , die mit dem JAroBi- 



ot, 



scheu Modul durch die Gleichung q ^ e" verbunden ist, ist nächst 

 der Thetareihe das Wichtigste, was durch die Arbeiten Jacobi's sowie 

 durch die von Gauss über elliptisclie Functionen zur Analysis hinzu- 

 gekommen ist; sie ist noch wichtiger geworden durcli ihren Zusammen- 

 hang mit einer neueren Fintdeckung, der des PicARn'schen Satzes. 

 Äluüich wie es bei der Thetareihe der Fall ist, bleiben die P^igen- 

 schaften der Modulfunction im Wesentlichen bestehen, Avenn man ihr 

 einen constanten Factor hinzufügt. Dieser Factor ist verschieden ge- 

 wählt worden. Gauss setzt: q = e~''': Weierstrass q = e'''. Der 

 letzteren Bestimmung des constanten Factors können wir uns deshalb 



