ScnoTTKY: GAUss'sche Theorie der elliptischen Functionen. 2^3 



iiiclit anscHiessen, weil wir auch die Eigenschaften der Modulfunction 

 auf Beziehungen zwischen reellen Vertänderlichen gründen, die Grösse r 

 aber nicht existirt, wenn man sicli auf reelle Grössen beschränkt. 

 Aber auch die GAuss'sche Definition hat den Nachtheil, dass durch 

 sie der Factor tt in die Differentialbeziehungen zwischen den Hülfs- 

 grössen eingeführt würde. Wir haben dies bisher vermieden, indem 



wir die LEGENORE'schen K und E von dem Factor befreiten. Aller- 



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dings tritt, weini man q = e" setzt — was der Sache nach mit der 

 RiEMANN'schen Darstellung der Thetareihe übereinstimmt — , die Grösse 

 ■Kl in den Relationen zwischen den verschiedenen Zweigen der viel- 

 deutigen Function w auf. Das ist natürlich und braucht nicht ge- 

 ändert zu werden. 



w ist deiinirt als reelle, und zwar negative Grösse für die reellen 

 Werthe von y. zwischen o und i, sie wächst beständig, von — oo 

 bis o, wenn die Variable das Intervall in der Richtung von o nach i 

 durchläuft. Diese negative Grösse ist, bis auf den Factor — -, als 

 Quotient zweier Integrale gegeben, von denen das eine aus dem andern 



hervorgeht, wenn man x durch i — x ersetzt. Es ist daher — die- 



selbe Function von i — /., die w von v. ist. Zur Werthbestimmung 

 von Cd haben wir den Summenausdruek 



w = log( -^ ) + 2^:]3(A' 



wobei 



ist; ^(A") ist eine Potenzreihe von A" ohne constantes Glied, sonst mit 

 positiven Coefficienten, die noch für A = i convergirt, und zwar ist 



^(I) = l0g(2). 



Wir betrachten jetzt a als complexe Veränderliche: wir lassen 

 alle imaginären Werthe zu und schliessen nur diejenigen reellen aus, 

 die grösser als i sind. Innerhalb des so definirten Gebiets, dessen 

 Grenze ein Theil der reellen Linie ist, kann i — x nicht negativ, y\ — x 

 nicht rein imaginär, der reelle Theil von \ \ — /. nicht o werden. Der 

 reelle Theil von Ki — /. ist demnach beständig positiv; daraus folgt, 

 dass A, absolut genommen, kleiner als i und ^(A") convergent bleibt. 



Demnach wird durch den Summenausdruek ein Zweig der Func- 

 tion w definirt für die ganze Ebene mit Ausschluss der reellen Strecke 

 von I bis oo. Dieser Zweig ist selbst nicht eindeutig. Er wird singu- 



