294 Sit/.iing der pliys.-math. Classe v. 2. Mäiv. 1911. — Mitth. v. 1. Dec. 1010. 



lär im Punkte x. = o, und zwar wie log (x) , denn die Differenz zwischen 

 log(x) und log(A) bleibt regulär im ganzen Gebiet; auf einer geschlosse- 

 nen Linie, die den Nullpunkt umkreist, ändert sich w um 27ri. Um 

 die Function in einem beschränkteren Bereich eindeutig zu definiren, 

 schliessen wir noch ein zweites Stück der i-eellen Linie, das von o bis 

 — CX3, aus. Wir erhalten so einen Bereich li, der doppelt symmetrisch 

 ist; die eine Symmetrieachse ist die reelle Linie, die andere steht senk- 

 recht darauf und halbirt das Intervall von o bis i . Innerhalb R ist 

 ein Zweig der Function w eindeutig definirt, wenn wir festsetzen, dass 

 uü auf der Geraden zwischen o und i reell sein soll; wir nennen ihn 

 den Zweig der directen Werthe. Auf den beiden Strecken, die die 

 Grenze von R bilden, hat dieser Zweig verschiedene Werthe, je nach- 

 dem man sich der Grenze von oben oder von unten nähert; man hat 

 deshalb bei jeder der beiden Strecken eine obere und eine untere Seite 

 zu unterscheiden. Auf der oberen Seite der linken Strecke ist offen- 

 bar der imaginäre Theil von w gleich +-«, auf der unteren — tt/; es 

 ist daher w = ± — « + <, avo / eine reelle Grösse bedeutet. Diese ist 



x, 



nichts Anderes als der directe Werth der Modulfunction im Punkte , 



y. — I 



der auf der Strecke zwischen o und i liegt, wenn x selbst zAvischen o 



und — oo angenommen wird. Denn vertausclit man x mit , so 



geht A in — A imd somit e' in — e" über, t ist demnach negativ und 

 nimmt beständig zu von — co bis o, wenn x vom Nullpunkt aus die 

 linke Strecke durchläuft. 



Älmlich verhält es sich auf der rechten Strecke. Die Gleichung 

 w(x)w(i — x) = -' ist aufgestellt unter der Voraussetzung, dass x einer 

 der reellen Punkte innerhalb R ist; sie besteht demnach für das ganze 



Gebiet. Es ist daher, wenn w den directen Zweig bedeutet, — inner- 



w 



halb R genau dieselbe Function von i — x, wie ui selbst von x. Die 

 Substitution von i — x für x bedeutet eine Drehung der Ebene um den 

 Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen, und zwar um einen Winkel 

 von i8o°. Das Innere von R geht dadurch in sich selbst über, die 

 beiden Strecken vertauschen sich, imd zwar wird die untere Seite der 

 linken Strecke zur oberen der rechten. Es ist daher auf der rech- 

 ten Strecke 



tt' 



= -l-TTJ + T, 



ü) 



wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem man sich einem 

 Punkte der rechten Strecke von oben oder von unten nähert, und 



