Schoitky: Gauss'scIib Tlieorie der elliptischen Functionen. 295 



wo T eine reelle Clrösse bedeutet, die beständig zunimmt, von — oo 

 l)is o, wenn /. vom Punkte i aus die rechte Strecke durchläuft. 



Damit sind die Werthfolgen des directen Zweiges der Modul- 

 function an der Grenze von R festgestellt. Aber wir übersehen jetzt 

 auch die volle Vieldeutigkeit der Function. Denn einerseits ist w gleich 

 einer analytischen P'unction, definirt für alle Punkte der Ebene, mit 

 Ausnahme der rechten Strecke, die singulär und vieldeutig wird wie 



TT' 



log(;c); andererseits ist — gleich einer analytischen Function, definirt 



üü 



für die ganze Ebene, mit Ausnahme der linken Strecke, die singulär 

 und vieldeutig wird wie log ( i — k). Denken wir uns eine Linie, die 

 nicht durch die Punkte o und t hindurchgeht, die sich auch nicht 

 in's Unendliche erstreckt; sie möge zuerst, beliebig oft, die linke Strecke 

 durchschneiden, dann die' rechte, dann wieder die linke u. s. f. Dann 

 wird zuerst der directe Zweig co in 2tmTi-\-ui übergehen; wir schrei- 

 ben dafür 



2 111 Tl-i 7 , 



WO cw = — ist. Durch die nun folgenden Durchkreuzungen der Linie 



mit der andern Strecke geht 



, . , . tt' 



w in 2'rt7n! + 6(j = 2n-i-\ 



w 



über u. s. f. Wir sehen auf diese Weise: w ist eine unendlich viel- 

 werthige Function, die sich in der ganzen Ebene, mit Ausschluss der 

 Punkte o , I , oo , zum mindesten wie eine rationale verJiält, und deren 

 Zweige aus dem directen durch Transformationen von der Form 



. flC W + iS TT i 



7ü) + (57r« 



hervorgehen; dabei sind a , /3 , 7 , (^ ganze Zahlen, die der Bedingung 

 cth — /67 = I genügen. Wir nennen eine Grösse w', die mit w durch 

 eine solche Gleichung verbunden ist, congruent w; zwei Grössen, die 

 congruent w sind, sind auch einander congruent. 



Es kommt hinzu, dass die Modulfunction, abgesehen von den drei 

 singulären Punkten, nie unendlich wird und auch nie verschwindet, 

 dass auch ihr reeller Theil nie verschwindet und somit stets negativ 

 bleibt. In Bezug auf den directen Zweig geht dies für die Punkte 



innerhalb R deutlich aus der Gleichung w = log 1 — r j + 2 ^^ (A") her- 

 vor. Denn da die Coefficienten von ^P(Ä') positiv sind, so ist der 



