296 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. März 1911. — Mittli. v. 1. Dec. 1910. 



absolute Wertli von ^(Ä") kleiner oder gleicli ^]3(p), wo p = | Ä"" | ist: 

 da p<i ist, so ist 'i)3(p)<^P(i), also kleiner als log (2). Daraus folgt, 

 dass der reelle Theil von ^(A") zwischen log(2) und — log(2), der 



von w zwischen log|A| und log - - liegt. Für die Punkte an der 



Grenze muss, schon wegen der Stetigkeit der Function, dasselbe gelten. 

 Die beiden Logarithmen sind offenbar negativ. Es hat daher der 

 reelle Theil des directen Zweiges von w in jedem Punkte innerhalb 

 und auf der Grenze von R einen endlichen von o verschiedenen nega- 

 tiven Werth. Nehmen wir aber einen andern Zweig w', so ist dieser 

 mit w durch eine Gleichung von der angegebenen Form verbunden. 

 Daraus folgt, wenn wir mit — D den reellen Theil von w, mit — D' 

 den von w' bezeichnen: D' = De', wo 



7 W -+- (i TT / 



ist. Diese Grösse s kann, wenn wir von den drei singulären Punkten 

 absehen, weder o noch 00 sein. 



Nehmen wir irgend einen Punkt z und den zugehörigen directen 

 Werth w. Zu den Grössen, die congruent w sind, gehören nicht nur 

 die sämmtlichen Werthe der Modulfunction im Punkte x, sondern auch 

 die, welche sie in den Punkten 



X I 1 y. — I 

 I — jc, , -, , 



K I X I — X, K 



annimmt. Denn erstens gehört — = w(i — •/.) auch zu den Werthen, 



U) 



die congruent w sind. Ferner gehört dazu w-f-7r/, und dies ist ein 



X 



Werth der Modulfunction im Punkte . Für die übrigen Punkte 



X. — I 



der aufgestellten Reihe ergiebt sich dasselbe durch Zusammensetzung 

 der beiden Substitutionen. 



Fügen wir zu den aufgestellten fünf Werthen noch x selbst hinzu, 

 so bekommen wir eine Gruppe von sechs Punkten, die wir als Gruppe (x) 

 bezeichnen wollen. Das Resultat dieser ersten Untersuchung lässt sich 

 dann so aussprechen: 



Die Modulfunction ist eine unendlich-vieldeutige, die aber nur 

 drei singulare Punkte: x = o , i , 00 besitzt. Ihr reeller Theil bleibt 

 beständig negativ. Die sämmtlichen Werthe, die sie in den sechs 

 Punkten einer Gruppe annehmen kann, sind in dem definirten Sinne 

 einander congruent. 



