Schoitky: GAiiss'scIie Tlicorie dn- dli|)tiscli('ti Funotioncii. 2i)/ 



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 Wir betrachten jetzt nvir die directen Werthe der Modulfunction. 

 Dann ist die Function im beschränkten Gebiet R, sogar an der Grenze, 

 eine eindeutig definirte, wenn wir, wie es gescliehen niuss, die Grenz- 

 strecken als zweiseitig annehmen. Singular wird sie nur in den Eck- 

 punkten o , I , oo . Da sie reell ist auf der reellen Linie, soweit diese 

 innerhalb li verläuft, so hat sie in conjugirteii Punkten coiijugirte Wertlie. 

 Nun ist, wenn wir mit w den Werth der Function im Punkte x bezeichnen, 



tt' 



— ihr Wertli im Punkte i — •/.. Auf der zweiten Symmetrieaciise, wo 



w 



I X I = 1 1 — x I ist, sind x und i — k conjugirte Werthe, also aucli w und 



— . Daraus folgt, dass auf dieser Linie der absolute Werth von w 



w 



gleich TT ist. 



Ist ferner y. ein Punkt der oberen Halbebene, so ist w — ~i der 



Werth der Function im Punkte . Dies ist bewiesen für den 



y. — I 



Grenzfall, wo x der oberen Seite der linken Strecke angehört; es muss 



offenbar bestehen bleiben, wenn sich x von dieser Strecke nach oben 



entfernt. Ganz ebenso ist, wenn wir unter x einen Punkt der unteren 



Halbebene verstehen, w-t--i der Werth der Function im Punkte — ^ — . 



X — I 



Beschränken wir nun x auf den Kreis Ix — i| = i, so ist liier 



' ' ■/. — I 



der conjugirte Werth von x. Infolgedessen ist |w — tt«] = |c<j|, wenn 

 X der oberen, | w -f- -/l = j w | , weim x der unteren Hälfte dieser Kreis- 

 linie angehört. 



Lassen wir x die ganze Begrenzung von R durchlaufen, und zwar 

 so, dass das Innere von R durchweg zur Linken bleibt; zuerst, nach 

 dem Nullpunkt zu, die obere Seite der linken Grenze, dann, in ent- 

 gegengesetzter Richtung, die untere Seite derselben. Alsdann folgt 

 die untere Seite der rechten Strecke bis zum Punkte i, und von i 

 aus die obere Seite der rechten Strecke. Wir haben demnach vier 

 auf einander folgende Theile der Begrenzung zu unterscheiden. Auf 

 dem ersten ist w = 7r/-t-/, und t nimmt ab von o bis — oo ; auf 

 dem zweiten ist w = — -i-\-i, t nimmt zu von — oo bis o; auf dem 



dritten ist — = tt^ + t, t nimmt ab von o bis — oo: auf dem vierten: 



— = — Tri-l-T, T nimmt wieder zu von — oo bis o. 



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