298 Sitzung der ])hys.-inntli. Classe v. 2. März. 1911. — Mittli. v. 1. Dec. 1910. 



Das heisst, wenn man w als variabeln Punkt einer zweiten Ebene 

 betrachtet : 



Der Punkt w beschreibt vier sich an einander anschliessende Linien, 

 die sich links von der Ordinatenachse hinziehen : Zuerst eine Gerade, 

 von Tri aus, parallel der negativen Abscissenlinie bis ins Unendliche, 

 dann eine zweite Gerade, ebenfalls parallel der negativen Abscissen- 

 linie, aber unterhalb derselben im Abstand -, vom Unendlichen bis — iri; 

 alsdann einen Halbkreis von — wi bis o, und einen zweiten Halbkreis 

 von o bis -/. 



Dass die l)eiden letzten Linien Halbkreise sind, ist leicht zu er- 

 kennen, indem man z. B. die Gleichung der letzten Linie auf die 

 Form bringt: 



Tri — w 

 O — üJ 



Hier ist ein positiver Factor, der abnimmt von oo bis o. 



TT 



Es schliesst demnach die Gerade von w nach Tri mit der von w nach o 

 denselben Winkel ein, wie i mit i. 



Das Gebiet zwischen den beiden Parallelen zur Abscissenlinie mit 

 den Endpunkten -l--i und — -i, das nach rechts abgeschlossen wird 

 durch die beiden Halbkreise, welche die Punkte -hTri und — -i mit 

 dem Nullj^unkt verbinden, ein Gebiet ganz links von der Ordinaten- 

 linie, nennen wir G\ Dann entspricht vermöge des directen Zweiges 

 der Modulfunction jedem Punkte der Begrenzung von R ein bestimmter 

 Punkt der Begrenzung von G, und umgekehrt. Dass auch jedem 

 Punkte y. im Innern von R ein bestimmter Punkt des Innern von G 

 entspricht, und umgekehrt, ist leicht zu erkennen. Denn es sei uo^ 

 irgend ein Punkt der w-Ebene, der nicht auf der Grenze von G liegt. 

 Der Punkt i liegt ausserhalb ; die Änderung, die der Logarithmus von 



U) Wq 



erfährt, wenn w den ganzen Umfang A'on G im positiven Sinn 



durchläuft, ist daher 2-/ oder o, je nachdem w„ innerhall) oder ausser- 

 halb G liegt. Man kann diese Änderung auch erhalten, indem man 

 den Logarithmus als Function von x ansieht, definirt für das Gebiet 

 R, und X die Begrenzung von R durchlaufen lässt. Da w — i nicht 



f W U) \ 



o wird, so ist die vollständige Änderung von log I °- j gleich 



' Man vergleiclie die Figuren bei Gauss, Bd. III, S. 477 und 478. Besonders 

 charakteristisch erscheint mir, dass unter diese Fragmente von Gauss über die Modul- 

 function auch Bemerkungen über die Potentialtheorie eingestreut sind (S. 479 und 480). 

 Für mich geht daraus hervor, dass Gau.ss von RiEMANN'sehen Gedanken beseelt ge- 

 wesen ist. 



