Schottky: GAUss'sche Theorie der elliptischen Functionen. 299 



iniri, WO n die Anzahl der Punkte innerhalb R bedeutet, in denen 

 w =■ u)^ wird. Die Vergleichung zeigt, dass n = i oder o ist, je nach- 

 dem w„ im Innern von G oder ausserhalb liegt. Der directe Zweig 

 der Modulfunction nimmt demnach innerhalb R keinen Wei-th an, der 

 ausserhalb G liegt, und jeden innerhalb G gelegenen einmal. Dass 

 die Function innerhalb R keinen Werth »„ annehmen kann, der an der 

 Grenze von G liegt, ist klar; denn dann müsste sie innerhalb R alle 

 Werthe annehmen, die in einer bestimmten Umgebung von w„ liegen, 

 also auch Werthe, die ausserhalb des Bereiches G liegen. 



Damit ist der Satz gewonnen: 



Der Bereich der Werthe des directen Zweiges der Modulfunction 

 ist ein Theil der cn-Ebene links von der Ordinatenachse; er ist be- 

 grenzt durch zwei von -ki und — ~i ausgehende Parallelen zur Ab- 

 scissenlinie und durch zwei Halbkreise, die den Nullpunkt mit -\-rci 

 und — -Kl verbinden. Jeden dieser Werthe, gleichviel ob er im Innern 

 oder auf der Grenze liegt, nimmt der directe Zweig der Function ein 

 und nur einmal an. 



Die zwischen R und G festgestellte Beziehung ist demnach die 

 der conformen Abbildung. 



Jetzt beschränken wir •/. auf einen Theilbereich von R. Es sei 

 zunächst (x) eine beliebige Gruppe von sechs zusammengehörigen 

 Punkten; mit y. selbst bezeichnen wir denjenigen Werth der Gruppe, 

 der, absolut genommen, der kleinste ist. Dann ist 



I X I < I 1 — X I und I y, \ 



daher : |x|<|i — }c|<i. Dies ist ein bestimmtes Gebiet /S, und zwar 

 ein Segment; nach rechts begrenzt durch einen Theil der zweiten 

 Symmetrieachse von R, nach links durch einen Bogen des Kreises 

 |x — 1 1 =; I , der durch den Nullpunkt in zwei gleiche Theile zerfällt. 

 Es kann zwar vorkommen, dass mehrere der sechs Grössen (x) den 

 kleinsten Werth erreichen, so dass wir zwischen mehreren freie Wahl 

 haben. Dann liegt x auf der Grenze von -S. Aber es handelt sich 

 im Folgenden um Ungleichheitsbeziehungen zwischen continuirlichen 

 Grössen, die nicht vollständig aufhören, wenn man zur Grenze über- 

 geht. Wir erlauben uns deshalb, x im Innern von <S anzunehmen. 



Es ist leicht zu sehen, dass, wenn |x|<|i — x|<i ist, x die 

 kleinste Grösse ihrer Grupi)e ist; die beiden Bedingungen sind dem- 

 nach gleichwerthig. 



Der Bereich >S^ reicht nur in dem einen Punkte x = o, wo w = oo 

 ist, bis zur Grenze von R. Es muss ihm demnach ein Theilbereich H 

 von G entsprechen, dessen Begrenzung sich zwar in's Unendliche er- 



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