300 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. Mäiz 1911. — Mittli. v. 1. Dec. 1910. 



sti-eckt, sonst aber vollständig innerhalb G verläuft. Auf der Sehne 



ist |w| =: TT, auf dem oberen Theil des Kreisbogens: |w — 7r«| = |w|, 

 auf dem unteren: |a) + -/| = \w\. Der Bereich H ist demnach be- 

 grenzt durch zwei zur Abscissenlinie parallele Gerade, |w — 7r«| = |c/j| 

 und I ci,' -+- - / 1 =: I w I , und durch einen Bogen des Kreises | w | = tt . 



Wenn y. im Innern von <S liegt, so liegt w im Innern von H. Es 

 ist daher 



|ci)|<|oo — ~i\ , |ct)|<|a)-f-— /l, |üi|>7r, 



wenn |x|<|i — x|<i ist'. Was diese Ungleichheiten bedeuten, lässt 

 sich in zwei ganz verschiedenen Formen aussprechen. 



Denken wir uns die Punkte der arithmetischen Reihe w-\-tii-L 

 die wir erhalten, wenn wir für m alle ganzen Zahlen setzen. Daraus, 

 dass w + tt/ ebenso wie co — iti, absolut genommen, grösser als w ist, 

 folgt, dass w die kleinste unter den Grössen w + mivi ist, imd auch, 

 neben — w, die kleinste unter den Grössen iioj + miri, wenn n=z±i 

 ist. Nehmen wir aber fiir n eine positive oder negative ganze Zahl, 

 die absolut genommen grösser als i ist, so ist a fortiori nw-hm-äi 

 grösser als w. Um dies zu beweisen, bezeichnen wir den reellen Theil 

 von u), welcher negativ ist, mit — D, mit ±El den imaginären, wobei 

 wir annehmen, dass auch £" nicht negativ ist. Da |tt)|<|w±-«| ist, 



so is>i D^-\-[E—-kY>B^ + E\ also E<~. Da ferner Z)'-4-^=>7r= 



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und um so mehr D-\-E>- ist, so ist D> —>E: folglich 2D> D-\E 



> I ü) I . Hiernach ist, wenn n eine der Zahlen ± 2 , ± 3 etc. bedeutet, 

 nu}-h/mri grösser als w. Denn schon der reelle Theil A^on nw-i-mTi 

 ist, absolut genommen, grösser als ui. Wir sehen hieraus: Unter den 

 Grössen nw-i-miri, die wir erhalten, wenn wir für n und m beliebige 

 ganze Zahlen setzen, und nur den Werth n ^ o ausschliessen, ist w 

 die kleinste. tI aber ist noch kleiner als w, und es ist nicht ausge- 

 schlossen, dass auch einige der Vielfachen von ni kleiner als uj sind. 

 Damit ist der Satz gewonnen: 



Wenn die Linie von o nach •/, die kleinste, die von i nach x die 

 zweitkleinste Seite des durch die Punkte o , i , y. gebildeten Dreiecks 

 ist, so ist der zugehörige directe Werth w der Modulfunction so be- 

 schaffen, dass Tri, neben — -/, die kleinste aller Grössen ist, die sich 

 ganzzahlig aus w und iri zusammensetzen lassen ; w aber wird die kleinste, 

 wenn man ±77/ und die Vielfachen von ±~i aus dem System nw-hm-i 

 fortlässt. 



' \'gl. Dedekinu, über die elliptischen Modulliinctioneii, Joiaii. f. Math. Bd. 83, 

 S. 270. 



