Schotiky: GAu.ss'sche Tlieorie der elliptischen Fuuetionen. oOl 



Nehmen wir irgend einen Werth w\ der dem directen congruent ist, 



und bezeichnen mit — 1) den reellen Theil von u>, mit — V den von 

 w'. Dann ist 



]/ = IJ 



7:1 

 7W -4- (>- 1 



Aber der Factor, der liier mit D multiplicirt ist, kann höchstens gleicli 

 I sein, wenn ~i die kleinste der Grössen 7» -4-1^77/ ist; er kann nur 

 den Werth i erreichen, wenn 7 = o,<^ = ±i, c4 = ±i ist, also wenn 

 tt,' = oo + ZStti; ist. Die Punkte w + .Stt/ bilden daher in der Gruppe 

 der congruenten die Reihe derer, die den grössten Abstand von der 

 imaginären Achse haben; w selbst ist in dieser Reihe derjenige Punkt, 

 der dem Nullpunkt am nächsten liegt. Dadurch entsteht der zweite Satz: 



Wenn y. der kleinste Werth seiner Gruppe ist, so liefert der zu- 

 gehörige directe Werth w der Modulfunction einen Punkt der Gruppe (w), 

 in dem das Maximum des Abstandes von der imaginären Aclise er- 

 reicht wird; und zwar ist w derjenige unter den Punkten größten Ab- 

 standes von der imaginären Linie, dessen Entfernung vom Nullpunkt 

 die kleinste ist. 



An den zweiten Satz ist noch eine Bemerkung zu knüpfen. Wenn 

 |x|<|x — i|<i, und demnach | !< | < i ist, kann man zur Bestimmung 

 des directen Werthes der Modulfunction die einfachere Formel 



^ = logl-^l-4-4TUx) 



anwenden. Nun liegt der reelle Theil von ^(y.) zwischen log (2) und 

 — log (2); der reelle Theil von w also, den wir mit — D bezeichnet 



haben, zwischen log | x | und log — , . Wir bezeichnen mit K den 



grössten unter den absoluten Beträgen der Gruppe (x). Dann ist | x | = -^ 



und daher 



log(Ä')<i;<log(2'Ä'). 



B stellt das Maximum dar unter den Abständen der zur Gruppe (x) 

 gehörigen Punktgruppe (w) von der imaginären Linie. Dieses Maximum 

 ist grösser als log {K), aber kleiner als log (2'^K). Um so mehr sind 

 die Entfernungen aller übrigen Punkte der Gruppe (w) von der imagi- 

 nären Geraden kleiner als log (2^/1)'. 



' Dieser kleine Satz ist deshalh von Interesse, weil auf ihm einer der Beweise 

 des allgemeinen PicARo'sclien Theorems beruht. An sich braucht dieses wundervolle 



