302 Sitzung der phys.-math. Classe v. 2. März 1911. — Mitth. v. 1. Dec. 1910. 



Der directe Zweig der Modulfunction wurde durch eine Potenz- 

 entwicklung mit einem hinzutretenden logarithmischen Gliede definirt. 



/S 

 Man kann aber auch die directe Definition ui = — tt dadurch 



a. 



erweitern, dass man bei den Integralen cl und — y8, neben den reellen 



2 2 



Werthen von x zwischen — oo und i, bezüglich zwischen o und +oo, 

 beliebige imaginäre zulässt. Schliesst man die reellen Werthe von x 

 zwischen i und oo aus, und lässt alle imaginären zu, so kann, da x 

 eine reelle Grösse zwischen o und i ist, der reelle Theil von ]/ i — xa:' 

 nicht verschwinden; wir dürfen ihn als positiv annehmen. Ebenso lässt 



TT 



sich das Integral ~/3 eindeutig definiren, wenn man die linke Strecke 



der reellen Linie ausschliesst. Innerhalb R sind auf diese Weise beide 

 Integrale definirt. Ihr Quotient, multiplicirt mit — tt, ist offenbar inner- 

 halb H eine analytische Fvmction, und da diese für die reellen Werthe 

 von X zwischen o und i mit dem directen Zweige der Modulfunction 

 übereinstimmt, so ist sie überhaupt mit diesem Zweige identisch. 



Wir führen nun bei dem Integral — o6 die Grösse v.x" ^= t als 



Integrationsvariable ein. Wir erhalten so: 



"• dt 



^ }/R{t) 



wo: 



R{t) = t{t—i)it — y.) 



ist. Das Vorzeichen des Integrals lassen wir unbeachtet, da es uns 

 hier mehr auf die absoluten Werthe der Grössen ankommt. 



Theorem keinen andern Beweis neben dem. den sein Autor selbst gegeben hat. Aber 

 ich glaube, dass durch die Untersuchungen Anderer (Borel, Landau, Caratheodoey), 

 die schliesslich auch zum PicARo'schen Satz führen, unsere \'orstellungen über die singu- 

 lären Punkte der Functionen, und auch unsere Auffassungen der Modulfunction vertieft 

 worden sind. In einer Arbeit, durch die ich mich an jenen Untersuchungen betheilige 

 (Über zwei Beweise des allgemeinen PicARo'schen Satzes, Sitzungsber. 1907, S. 823 bis 

 840), steht, durch ein Versehen von mir, auf S. 831, log (32«) statt log (2^«), und dieser 

 Fehler zieht sich durch die Formeln von § 2 und 3. Die dort auftretenden Potenzen 

 von 2 sind daher durch liöliere zu ersetzen. Es ist ziemlich gleichgültig, wie gross 

 diese Exponenten sind. Dass man auf hohe Potenzen von 2 gefasst sein muss, wenn 

 man entweder die in der BoREL'schen Arbeit unbestimmt ausgesprochenen Sätze zu 

 bestimmten macht, oder wenn man die Formel log (AT) < D < log (28Ä') als Ausgang.s- 

 punkt zu weiteren Schlüssen benutzt, ist klar. Ich gedenke übrigens bei anderer 

 Gelegenheit auf die Beweise des PiCARn'schen Satzes zurückzukommen; es soll für 

 diesen Satz kein Beweis vorhanden sein, in dem sich ein dauei'nd uncorrigirter Flüchtig- 

 keitsfehler befindet. 



