Schottky: Gaus.s'.scIi« Theorie der elliptischen Functionen. oOo 



7r/3 entstellt aus ~a., indem man >c durch i — x ersetzt. Wir 

 ersetzen gleichzeitig t durch i — /. Dadurch ergiebt sich : 



ist, und A , 5 zwei Fundamentalperioden des elliptischen Integrals 

 I darstellen. — ^ und B sind Halbperioden, gewonnen auf 



geradlinigem Wege, die eine auf der Linie von o nach /-, die andere 

 auf der von i nach x. 



Nun nehmen Avir x im Segment 8 an, das heisst: wir nehmen 

 an, dass die Linie von o nach x die kleinste, die von i nach v. die 

 zweitkleinste Seite des Dreiecks (o , i , x.) ist. Dann ist tt / die kleinste 

 der Grössen nm-\-m-i, also die kleinste der Grössen 



'\ imA + nB), 

 A 



folglich A die kleinste der Grössen mA-hiiB, und ebenso ist B die 

 kleinste der Grössen »iA-^-hB, die übrig bleiben, wenn man für ?« 

 den Werth o ausschliesst. Die kleinste Periode A des elliptischen 

 Integrals ist demnach die, deren Hälfte durch Integration längs der 

 kleinsten Seite des Dreiecks (o, i , x) erhalten wird. Das Integral über 

 die zweitkleinste Seite, multiplicirt mit 2, liefert diejenige Periode B, 

 die nächst A und den Vielfachen von A die kleinste ist. 



Das lässt sich noch etwas erweitern, indem man t durch eine 

 ganze lineare Function von ( ersetzt und damit eine gewöhnliche Ähn- 

 lichkeitstransformation vornimmt. Es gilt der Satz: 



Unter den Halbperioden des elliptischen Integrals 



r dx 



J V{x — ä)(x — b)(x — c) 



ist diejenige die kleinste, die sich durch Integration auf der kürzesten 

 Seite des Dreiecks a, b, c ergiebt; nächst dieser und ihren Vielfachen 

 ist diejenige die kleinste, die auf der zweitkürzesten Seite erhalten wird. 



