Frobenius: Über uiiitäie Jlati'i/.en. 373 



Über imitäre Matrizen. 



Von G. Frobenius. 



Uie folgende Untersuchung ist eine Fortsetzung meiner Arbeit Vber 

 dm von L. Bieberbach gefundenen Beweis eines Satzes voji C. Jokvak^ 

 hier, S. 241. Die (charakteristischen) Wurzehi einer unitären Form 

 liegen auf dem mit dem Radius r = 1 um den Nullpunkt beschrie- 

 Iienen Kreise. Dieser, und zwar die Linie, nicht die Fläche, ist hier 

 stets gemeint, wenn von einem Kreise die Rede ist. 



Der Beweis des Hrn. Bieberbach stützt sich auf eine Entdeckung, 

 die nicht minder merkwürdig ist als der Satz von Jordan, nämlich 

 daß in einer endlichen Gruppe unitärer Formen jede Form, deren 

 Wurzeln einen hinlänglich kleinen Teil <j des Kreises einnehmen, mit 

 j'eder andern derselben Art A^ertauschbar ist. Da er aber nur die 

 Herleitung des JoRDANschen Satzes im Auge hat, macht er keinen 

 Versuch, den Bogen t genauer zu bestimmen. Auch nach den Ergeb- 

 nissen meiner Arbeit, S. 246, scheint es noch, als ob er von n ab- 

 hängig ist und mit wachsendem n abnimmt. Demgegenüber zeige 



ich hier, daß für jedes n nur tr < ^ zu sein braucht: 



IV. In einer endlichen Gruppe unitärer Formen ist jede Form, 

 deren Wurzeln nicht ganz den sechsten Teil des Kreises einnehmen (worin 

 die Differenz von je zwei Wurzeln absolut kleiner als 1 istjj mit jeder 

 Form derselben Art vertauschbar. 



Der neue Weg führt zu einer deutlichen Einsicht in die Bedeu- 

 tung solcher Bedingungen, wie 2^{E-A)<\ oder ^{E-B)<-i, die 

 auf den ersten Blick seltsam genug anmuten. Sie werden hier durch 

 die weiteren Bedingungen ersetzt, daß die Wurzeln von A nicht ganz 

 den sechsten Teil, die von B nicht ganz die Hälfte des Kreises ein- 

 nehmen. 



§4- 



V. Sei C == ABA~^B~^ der Kommutator der beiden unitären Formen 

 A und B. Die Wurzeln von B mögen nicht ganz einen Halbkrei.'< ein- 

 nehmen. Ist dann A mit C vertuuschbar^ so ist auch A mit B vertau.tch- 

 bar, also C ^ E. 



