Frobenius: Über unitäre Matrizen. H75 



WO V zwischen den n reellen Größen r, , v.^, ■■■ i\ liegt. Durch eine 

 unitäre Substitution S gehen R und E in S' RS = P und S'ES = E 

 über, und diese Gleichung in 



(I5-) P =^p„xJ^«Ä = p]^ a;,;r,, 



wo die Abszisse von p ^ u + iv zwischen den Abszissen, die Ordinate 

 zwischen den Ordinaten der Wurzeln von P liegt. 



Ist Q eine zweite unitäre Form, so ist auch PQ~' eine solche, 

 und mithin hat jede Wurzel ;• der Gleichung 



\PQ-'-sE\ = o oder \P-sQ\ = o 



den absoluten Betrag 1. Nun kann man x^ , x^, ■ ■ ■ x„ so bestimmen, daß 



"V p„x X, = r ^ y,^ ^x (K --= 1 , 2 , • • • «) und V .r, Ji\ = 1 



wird. Dann ist 



P = ^ P^>. x^ J\ = ?• ^ ?x). x^x^ = rq. 



Wenn nun die Phasen der Wurzeln von P und Q alle zwischen 

 - r und + T liegen, wo < t < _^ ist, so liegen die Abszissen von 



p und q zwischen 1 und cos (t), sind also von verschieden, und die 

 Ordinaten zwischen - sin r und + sin (t), und daher die Phasen zwi- 

 schen -T und +T. Folglich liegt die Phase von /• =z p : q zwischen 

 -2t und +2t. 



Wenn nun die Wurzeln von A auf einem Kreisbogen der Größe 

 er = 2t liegen, so bestimme man g) so, daß die Phasen der Wurzeln 

 von P = e"*" A zwischen -t und +t liegen. Die Form Q — BPB~^ 

 hat dieselben Wurzeln. Daher liegen die Phasen der Wurzeln von 



PQ-' = ABA-'B-^ = C 



zwischen - er und -f (7. Dabei ist «r < tt angenommen, denn nur dann 

 hat die Aussage eine Bedeutung. 



§6. 



VII. In einer endlichen Gruppe unitärer Eormen ist jede Form^ 

 deren Wurzeln nicht ganz den sechsten Teil des Kreises eimiehmen, mit 

 jeder Form vertauschbar, deren Wurzeln nicht ganz den halben Kreis ein- 

 nehmen. 



