Fkobenii's: Über unitäre Matrizen. ■tit 



muß zwischen A' und B' liegen, und daher ist ABC ein spitzwink- 

 liges Dreieck. Sind dann '2ci , 2,3 , 27 die Phasen der Punkte A , B , C, 



so ist 



(16.) siii=(a) + sin"-(ß) + sin='(}') >1, 



also um so mehr (vgl. (10.)) 



p(E-R)^4^ sin^ U cp.j > 4. 



Mit andern Worten, es genügt, die Behauptung für ti = 3 zu beweisen. 

 Allgemeiner ist sogar, wenn nur die vier Punkte A , B , C , D nicht 

 auf einem Halbkreise liegen, 



(17.) sin'-(a-d) + siii2(ß-6) + sin-(y-6) > 1, 



WO 2 S die Phase von D ist. Liegen sie nämlich alle auf einem 

 Halbkreise, so sind die vier Dreiecke ^5 C, ABD, ••• sämtlich stumpf- 

 winklig. Liegen sie aber anders, . so sind immer zwei von ihnen 

 spitzwinklig, die beiden andern stumpfwinklig. Denn ist E der Schnitt- 

 punkt der beiden inneren Diagonalen des Vierecks, so liegt das Kreis- 

 zentrum in einem der vier Dreiecke EAB , EBC , ■■■, und mithin 

 in genau zwei der vier Dreiecke ABC, ABD, •••. Unter den drei 

 Dreiecken DAB , DAC , BBC ist also mindestens eins spitzwinklig. 

 Sind aber x , A , ja die Winkel eines solchen Dreiecks, so ist 



p < — , K + X > ^ , — - > X > — - X > , sin (x) > cos (X) , 



demnach 



sin2(K) + siii2(X) > 1 . 



Folglich ist, wenn das Dreieck DAB spitzwinklig ist, 

 sin2(a - 6) + siQ2(8 _ ä) > 1 , 



und daher besteht in jedem Falle die Ungleichheit (i 7.). 



Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, so kann man D beliebig 

 wählen, niemals liegen die vier Punkte auf einem Halbkreise. Folg- 

 lich gilt die Ungleichheit (17.) für jeden Wert von 8 und geht für 

 ^ = in (16.) über. 



Bei veränderlichem ^ ist das Minimum der linken Seite von (17.) 



wo G der Schwerpunkt des Dreiecks ABC ist. Ist 



die komplexe Größe, die den Höhenpunkt H darstellt, so ist s = — OH 

 die positive Quadratwurzel aus 



