C Caka iHEODORY uiid K. Laniiau: Zur Corivergenz von Fiinctioneiilblfren. 587 



Beiträge zur Konvergenz von Funktionenfolgen. 



Von 

 Prof. Dr. C. CvRArHEODORy und ProC. Dr. E. Landau 



in Breslau in Göttinsren. 



(Vorgelegt von Ilrii. Sciiottky am 20. April 1911 [s. obeu S. 439].) 



Einleitung. 



J_yer sogenannte WeierstrassscIic' Doppelreihensatz war das Anfangs- 

 glied einer Kette von Sätzen, welche sukzessive aus immer geringe- 

 ren Voraussetzungen dasselbe Ergebnis lieferten: den Nachweis, daß 

 ein gewisser Ausdruck eine analytische Funktion darstellt. In der 

 vorliegenden Arbeit liegt es uns hauptsächlich daran, einen Satz (VI) zu 

 beweisen, der alle Sätze jener Kette als Spezialfälle enthält, und der 

 bisher weder ausgesprochen noch bewiesen worden ist, so nahe auch 

 drei neuere Autoren (Vitali', Montel", Severini*) herangekommen sind. 

 Allerdings stützt sich unser — nur wenige Zeilen langer — Beweis 

 auf einen Satz aus dem PicARD-LANDAu-ScHOXTKY-CARATHEODORYSchen 

 Ideenkreise, der erst vor wenigen Monaten von Landau formuliert und 

 bewiesen wurde. Trotz der Kürze unseres Beweises wollen wir uns 

 nicht auf die Publikation jener wenigen Zeilen beschränken, sondern 

 einerseits noch tiefer in die Probleme eindringen, anderseits zunächst 



' Zur Funcüonenlehre [Monatsberichte der Königlich Preussi.schen Ak<adeniie der 

 Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre i88o, 8.719 — 743; Abhandlungen aus der 

 Functionenlehre (1886), iS. 67 — loi ; Matiieinatische Werke, lid. II (1895), S. 201 — 230J, 

 S.723 — 726 bzw. 73 — 76 bzw. 205 — 208. Dieser l'undamentale WKiERSTRAsssche Satz 

 spielt in der ganzen modernen Analysis eine ausschlaggebende Rolle und findet sich 

 natürlich jetzt in jedem Lehrbuche der Funktionentheorie. 



'' Sopra le serie di funzioni analitiche [Anuali di Mateniatica pura ed applicata, 

 Ser. 111, Bd. X (1904), S. 65— 82], S. 80— 81. 



■* Sur les points irreguliers des series cnnveryentes de fonctions analytiques [Coniptes 

 rendus hebdomailaires des seances de l'Academie des Sciences, Paris, Bd. CX.XXXV 

 (1907), S.910 — 913], S.911 — 912; Legotis sur les series de poly/iome-s ä wie variable complexe 

 [Paris (Gauthier-Villars), 1910], S. 124 — -125. Die erstere Note (in der allerdings die 

 Beweise nicht angegeben sind) ist Hrn. Severini entgangen, die SEVERiNische Arbeit 

 Hrn. MoNTEL bei Drucklegung seines Buches nicht bekannt gewesen. 



* Sülle successioni iiifinile di fumioni anatitiche [Atti del 1\' Congresso Interna/, io- 

 nale dei Mateniatici (Roma, 6 — 11 .Vprile 1908), Bd. II (1909), S. 183 — 193], S. 186 — 188. 



