588 Sitzung der pliys.-iiiatli. Classe v. 18. Mai 1911. — Mittli. v. 20. April. 



nus der etwas reiclilialtig vorhandenen und ziemlich zerstreuten Lite- 

 ratur die einfachsten Beweise für diejenigen nach Weierstrass ge- 

 fundenen Tatsachen zusammenstellen, welche wir brauchen. 



Bei unseren ganzen Betrachtungen sprechen wir nur von einem 

 Kreise (statt eines Bereiches allgemeinerer Art), wählen hierfür den 

 Einheitskreis und nehmen meist unsere Funktionen auch noch auf 

 dessen Rande regulär an; dies läßt nämlich den Kern der ganzen 

 Untersuchung am deutlichsten hervortreten und stellt tatsächlich keine 

 Beschränkung der Allgemeinheit dar. 



Die §§ I — 3 enthalten nichts Neues, abgesehen von einem am Ende 

 des § 3 mitgeteilten neuen Beweis von Hrn. stud. math. P. Bernays in 

 Göttingen für den Hilfssatz von Landau, von welchem schon oben 

 die Rede war. § 4 enthält für unseren neuen Hauptsatz (VI) den 

 Beweis, die §§5 — 7 eine von der ersten unabhängige Beweisanordnung 

 und weitergehende Verallgemeinerungen, die in dem von uns mit IX 

 bezeichneten Satze gipfeln. 



§ I- 

 Der klassische WeierstrassscIic Satz lautet: 

 Satz I: Es seien die analytischen Funktionen 



/ {x) ,/, (x) ,...,/„ (a;) ,.. . ad inf. 

 für \x\ ^ 1 regulär. Es existiere für \x\ :^ i 

 lim fAx)=f(x), 



und zwar gleichmäßig. Dann ist f{x) für \o:\< i eine reguläre analy- 

 tische Funktion. 



Von den vielen Möglichkeiten, ihn zu beweisen, soll hier natür- 

 lich nicht die Rede sein. Übrigens wird er zufällig nicht einmal im 

 folgenden angewendet werden. 



Unter Überspringung mehrerer Zwischenstationen nennen wir jetzt 

 folgenden schönen Satz, den man Hrn. Vitah' verdankt: 



Satz II: Es seien die analytischen Funktionen 



fAx),M-x),...,f„(x),--. 



' Sopra le Serie di funzioni analitiche [Rendicoiiti del Keale Istituto Lombardo 

 di scienze e lettere, Ser. II, Bd. XXXVI (1903), S. 772^774; im Sitzungsbericht vom 

 18. Juni 1903] und S. 73 — 74 der oben zitierten Abhandlung (im Märzheft 1904). Im 

 Jaiu-e darauf wurde der Satz von Hrn. Porter wiederentdeckt: Concerning Series of 

 Analytic Functions [Annais of Mathematics, Ser. II, Bd. VI (1904 — 1905), S. 190 — 192; 

 iui Juliheft 1905]; diese Arbeit fehlt übrigens in dem ausführlichen Literaturverzeichnis 

 des Hrn. Sevebini (a. a. O. S. 183 — 184). 



