V. Cai!a I m'iiDDRY 1111(1 E. Landau: Zur Conveigenz von Fuiictioiienrolgcii. 589 



fÜ7' I X I ^ I rcyuUir und gklchuiäßiy /M'srhriin/,i. D. Ii. es (ji'bc nnc ab- 

 solute {von X und n imeibhängiye) KoiisUinte y derart, daß für | x | S i 

 und alle ganzen n ^ i 



Ist. Es existiere 



lim /„(;r) 



für unendlich viele Punkte des Gebietes \x\ ^ i^ loelche mindestens einen 

 Häufungspunkt im Innern des Einheitskreises haben\ Dann existiert 



\\mj„(x)=f{x) 



für alle Punkte des Gebietes \x\ < i / dies f{x) ist ferner für | a; | < i eine 

 reguläre analytische Funktion^ und es ist sogar bei festem S-^ das > o und 

 < I ist, für I ,)• I ^ S- gleichmäfMg 



\imj„(x) = f(x). 



Der Satz II soll im nächsten Paragraphen (§ 2) auf dem einfachsten 

 der bekannten" Wege bewiesen werden. Wenn wir auch später einen 

 allgemeineren Satz (VI) entwickeln werden, so werden wir nämlich den 

 Satz II beim Beweise des neuen Satzes anwenden. 



Es sei hier sogleich darauf aufmerksam gemacht, daß die Voraus- 

 setzungen des Satzes II in denen des Satzes I enthalten sind. Denn aus 

 der im Satz I vorausgesetzten gleichmäßigen Existenz des lim /„ (x) 



für I x I ^ I ergibt sich das Vorhandensein eines N ^ i derart, daß für 



n> N und | ^ | ^ i 



\f„{x)-fr(^)\<i, 

 also , 



|/„(a:)|<|A(a-)| + i 



ist; wenn nun eine Konstante G so gewählt wird, daß für |.:c|^i 



\f{x)\<G,...,\fAx)\^G 

 ist, so ist, was auch das n ^ i bedeuten mag, für | a; | ^ i 



|/„(^)|<G + i = ./; 



' Es würde genau dasselbe wie im Text bedeuten, wenn die Existenz des Limes 

 für unendlich viele Punkte vorausgesetzt wird, welche bei festem < i dem Gebiet 

 Ix 1^0 angehören. Im Häufungspunkt selbst wird die Existenz des Limes nicht vor- 

 ausgesetzt. 



- Vgl. S. 68 — 69 und 75 — 77 in Hrn. Montels These Sur Ics suitrs inßnies de 

 fonctions [Paris (1907); abgedruckt in den Annales scientifiques de l'Ecole Normale 

 .superieure, Ser. 111, Bd. XXIV (1907), S. 233— 334, woselbst S. 300— 301 und 307—309 

 in Betracht kommen] und sein Buch, 8. 20 — 25. Hrn. Montels Literaturangaben da- 

 selbst ist obiger Hinweis auf VrrALi und Porter hinzuzufügen. 



