590 8iUiing der pliys.-iiiatli. Classe v. IS. Mai 1911. — MhlU. v. 20. Apvil. 



(l. h. die /„(a;) sind für |j-'|^i gleichmäßig beschränkt. Die übrigen 

 Annahmen des Satzes II .sind offenbar geringer als die entsprechenden 

 des Satzes I. Gleichmäßige Konvergenz wird überhaupt nirgends vor- 

 ausgesetzt und Konvergenz nicht einmal im ganzen Gebiete, sondern 

 eventuell nur in abzählbar vielen Punkten, die nicht einmal überall 

 dicht zu liegen brauchen, sondern nur mindestens einen Häufungs- 

 punkt im Innern haben müssen. 



§2. 



Erster Hilfssatz: Es m für v>i, m^o 

 also für jedes v'^i die Potenzreihe 



F^ {X) = ^ C ;,, '^"' = ^.o + '^«i -^ + ^.2 x' + ■■■ 



im Kreise | a- [ < i konverc/eni. Es sei für Jedes in ^ o 



lim r„„ = (■•„, 

 vorluimlen^ wobei eo ipso 



ist lind infolgedessen die Potemreilie 



F{x) = ^ r„, x'" = ("o + '■. A- -I- c, x^ + . ■ • 



für I a; I < I konvergiert. Dann ist für | x | < i 

 lim FXx) = F(x) , 



und zwar ist hei festem ^ zwisclien o (ausseid.) und i (ausseid.) im Gehiele 

 I a; I ^ S- gleichmäj^ig 



lim FXx) = F(x) . 



Beweis: Es sei S- zwischen o und i gegeben und fest (o < S^ < i); 



ferner sei ein ä > o gegeben. Man wähle ein ganzes positives k = kß) 



so, daß 



g^ ^ 

 ^ ■< — 



I— ^ 

 ist. Dann ist für 1 a; 1 < 9- 



(I) I F[x) - 2 <:,x' 1 = 12 ^•'"•^"' \^y% ^"' = -^^- 

 ,„ — „ ,„ — k- „. — k- I — ^'^ 



