C. Cara iHEdDoRY iinil E. Landat: Zur Convergenz von Fiinctionenfolgen. 591 

 desgleiclien für |j:|2^S- hei jedem v>i 



(2) I F^(x) — ^ c,.,„x'" I = I 2 ^,.„,a'" I ^ ^ X ^"' = " • 



Nim werde ein N = N{^) so gewählt, daß für v>iV" und o^?n<k — i 



I , ^ 



C^m — Cm < -T 



ist; dann ist fiir |x|^S- 



<•— I *— I * — I ^ /••— I » 



(3) I 2 ^""^'" ~ ^ ^'"•^"' 1 = 12 (C.r'. — C'")^'" I < ^ 2 ' = - • 



Aus (1), (2), (3) folgt für v^i\r((^) im Gebiete \x\<B- 



I i^„(x) — F(.r) I < - H h~=S, 



3 3 3 



womit gleichmäßige Konvergenz im Gebiete |x|^S-, also insbesondere 

 (da das positive 3- beliebig nahe unterhalb i liegen konnte) Konvergenz 

 für I X I < I bewiesen ist. 



Zweiter H i 1 f s s a t z : Es sei für n^i, m > o 



so daß für jedes feste in>o die Menge r/,„„ (/i = i , 2 , • • • ) mindestens 

 eine Häufung sstelle hat. Dann läßt sich eine Folge waclisender ganzer 

 positiver Zahlen n,, n, , •••, ?i„, ••■ derart auswählen, daß für Jedes m^o 

 die Folge 



"«, m ) ",12 m ! ■ ■ • ! "„., m > ■ ■ ■ 



gegen einen Limes konrergiert: 



lim a„ „, := a,„ . 



Hierbei darf außerdem noch für ein m = tn^ vorgeschrieben werden^ 

 welche der Häufungsstellen der Menge a„„^ (n = i, 2, ■■■) — falls es 

 deren überhaupt mehr als eine gibt — die Zahl a,„^ bezeichnet. 



Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (da ja kein m 

 den Vorrang vor einem anderen Iiat) darf beim Beweise angenommen 

 werden, daß die Häufungsstelle a^ der a,„, vorgeschrieben ist. 



Man wähle eine wachsende Folge von Indizes 



[o] n^o j '*oi > ''oi > • • ■ ) «o* > ■ • ■ 



