C. Caratukodory und E. Landau: Zur Converfcenz von P'unctionenlblgen. 0.)H 



die Zahlen jeder Zeile in der vorigen (also in jeder vorangehenden) 

 vor. Viertens ist für jedes 7n>o 



(4) l'lll '^'nm = ^<;i • 



Es werde nnn 



n^^ = n, , ?z„ = n^ , n^^ = n^, • • • , «„„ = «„^, ■ • ■ 



gesetzt. Von diesen Zahlen n,,(v =1,2, • .) ist jede größer als die 

 vorangehende, weil für v^o 



ist. Ferner erfüllen die Zahlen n^ für jedes 7W^o die in der Behauptung 

 vorkommende Gleichung 



lim a„ „, = ff,„ , 



d. h. es ist wirklich 



(5) liin <'n,.^m = fl,„ ; 



in der Tat sind ?«,„,„,??„, + ,.,„ + ,, ••• zur Zeile [/«J gehörig; also ist 



wegen (4) a fortiori (5) erfüllt. 



Damit ist der zweite Hilfssatz bewiesen. 



Aus den beiden Hilfssätzen ergibt sich nun folgender 



Beweis des Satzes II: P"s soll zunächst festgestellt werden, 



daß in dem Koeffizientenschema der 



/,j [x) =: (1^ -t- 0„, X + ■ • ■ -t- W„,„ X'" -\- ■■■ = ^ (•/„,„ X'" 



für jedes m>o 



lim (i„,„ 



existiert. 



Jedenfalls ist nach der ÜAucHYSchen Koeffizientenabschätzung 



so daß für jedes in die Menge (t„,„{n^= 1,2, •••) mindestens eine 

 Häufungsstelle hat. Würde nun nicht stets (d. h. nicht für jedes ?h>o) 



lim fl,„„ 



existieren, so hätte für mindestens ein in die Menge r/,„„ mindestens 

 zwei Häufungsstellen. p]twa für in = ///„ seien a und l> zwei solche, 

 also 



