C Carathkodoky lind E. Landau: Zur Convergen/. von Fiinctionenf'olgeii. 595 



Die beiden für |^| < i konvergenten Potenzreihen F(d) und G'(.i) 

 müßten also identisch übereinstimmen, was sich mit 



«mo = « =}= 6 = b„,^ 

 nicht verträgt. 



Die Annahme, daß für irgendein ni > o 



lim f7,„„ 



nicht existiert, ist also falsch. Daher existiert für jedes m ^ o 



lim (•/„,„ :=■ r,,, . 

 Wenn 



i^^,„-i-'" =./■(•'■) 

 gesetzt wird, ist nach dem ersten Hilfssatz für |.r| < i 



lind zwar ist nach jenem Hilfssatz für | ^ | S 3-, wo o < S- < i und 

 3- fest ist, gleichmäßig 



mn/„(.r)=/(a:). 



Damit ist der Satz II bewiesen. 



§ 3- 

 Hr. Schottky' hat die wichtige Entdeckung gemacht: 

 Satz III: Es sei für |.t;| < i die Funktion 



F{x) = a^-h a^x -t- ■ ■ ■ -h a„,x'" -i- ■ ■ ■ 



regulär, =|= o und =|= i . Es sei o < < i . Dann existiert eine 7iur von 



und fl„ {nicht von a, , a^, ••) abhängige Zahl il := ii(0, a^) derart^ daß 

 für 1 .1- 1 < 



I F(a) I < i2 

 ist. 



Mit anderen Worten : Wenn eine feste Zahl zwischen o und 



1 ist und man von F{x) nur weiß, daß es für \x\ < i regulär, =t=0; 

 4= I ist, und außerdem, welchen Wert es im Punkte o hat, so kann 

 man eine absolut feste Schranke angeben, welche von | F{x) | in keinem 

 Punkte des Kreises 1 ^ 1 < übertroffen wird. 



' IJhrr (Irii PicAKJj'.schrn SaL und dir BoREi'schen Urigleichunyen [Sitzuiig.sbericlite 

 der Königlich Preußischen Akademie der Wissenscliaflen, Berlin, Jahrgang 1904. 

 S. 1244 — 1262], S. 1255 — 1256. 



