C. C'ahatheodory und ü. Lanuau: Vaw Coiivcrfieii/. vom Kiiiiftioiieiil()lf,'eii. 5i) < 



Die HH. Severini' und Montel" waren nicht im Besitze des Satzes V, 

 sondern bedienten sich bei ihren Untersuchungen des Satzes lA^ mit 

 dem erschwerenden BaHast der e-Bedingung''. Und doch ist es nicht 

 einmal nötig, wenn man den Satz IV kennt, nochmals in die Tiefen 

 der Modulfunktionen bzw. der durch Hrn. Borel begründeten elemen- 

 taren, aber komplizierten Beweismethoden hinabzusteigen, um zum 

 Satz V zu gelangen. Das hat allerdings erst Hr. Bernays entdeckt 

 und noch nicht publiziert; wir benutzen diese (ielegenheit, um seinen 

 direkten Übergang vom Satz IV zum Satz V mitzuteilen. 



Hr. Bernays schließt so : Für | a; | < i ist unter den Voraussetzun- 

 gen des Satzes V 



wo der Wert b^ = log '/„ so gewählt sei, daß 



-37r<Zs{b:)<-7. 

 ist. Die Funktion 



G(j-) = - UK-{-b^x-^b,.v'-i--) = r„ + r,.f-i-r',.r' + --- 



ist für I a; I < I regulär und keine ganze Zahl, speziell 4= o und =}= i . 



Erster Fall: Es sei 



I 



Dann ist 



Wegen 



2 



' ' 2 



— log 2 S log I "o I = 31? ('''o) = log C(J , 



|$R(/0 1 <Max. (log 2, 1 logw |) = i/, H- 



13(^01^3'^ 



' A.a.O., S.187. 



2 A. a. O. (Bticli), .S. 124. 



ä Das Voihandensein der s-Bediiigiing veranlaßt beide Autoren zur Heran/.ieliung 

 eines OsGooDSchen Satzes, den wii' nicht brauchen ("aus der Konvergenz von /„(j) in 

 einem Gebiete folgt die Existenz eines Teilgebietes, in welchem die Konvergenz gleich- 

 mäßig ist«), infolgedessen zu der Annahme der Konvergenz von/„(.r) im ganzen Ge- 

 biete und auf dem genannten Umwege sogar zu einem Fehlschluß. Hr. Montel über- 

 sieht auf S. 124, Z. 6— 3 V. u., daß sein lim P„(x) =/(a;) in dem betreffenden Teil- 



n = 00 



gebiet identisch o oder identisch i sein kann (z.B. für P„(j:) = ^ 1 , .so daß sein 



Punkt X-, nicht zu existieren braucht. Hr. Severini hatte auf S. 188, Z. 3— 4, dasselbe 

 Versehen gemacht. Der Fall, daß /(x) identisch o oder i ist (selbst im ganzen Gebiet), 

 ist keineswegs als trivial aussciiließliar, da ja nicht nur Regularität von /(x). sondern 

 auch gleichmäßige Konveigenz behaujitet wird. Bei .\nwendung des Satzes V bedarf 

 jener Fall überhaujit keiner besonderen Diskussion. 



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