('. Tara niKüDüEy und K. Landau: Zur Coiivergeiiz von Fiinctionerilolgen. 51)9 



für I a; I ;^ 1 regulär. Es gebe zwei cersrhicdene komplexe Konstaideii a und h 

 derart^ daß für \x\< i jede der Funklione'n f„(x) beide Werte a und b aus- 

 läßt. Es existiere 



lim/„(a) 



für unendlich viele Pu7ikte_, die mindestens einen Häufungspunkt im Inner?i 

 des Einheitskreises haben. Dann ii^t für alle x des Gebietes | a: | < i 



\imJM=f{^) 



vorhanden. Ferner ist f{x) für \x\< \ regulär. Endlich isl^ loenn o < S- < i 

 und S- fest ist_, für | x | < S- gleichmäßig 



lim fAx)=f(x). 



Vorbemerkungen: i. Der Satz VI enthält oßenbar den Satz II 

 als Spezialfall. Denn, wenn für |'i'| ;^ i alle/, (.r) gleichmäßig bescliränlct 

 sind, d. h. stets 



ist, so gibt es natürlich zwei Werte (nämlich zwei beliebig außerhalb 

 des Kreises mit dem Radius^ um den Nullpunkt zu wählende Zahlen w, b), 

 so daß alle fn(x) diese beiden Werte für \x\ ^ i auslassen. 



2. Das äußerste in dieser Richtung in der Literatur' bisher er- 

 reichte Ziel ist mehr als II und weniger als VI, nämlich VI mit vor- 

 ausgesetzter Existenz von lim /„(.i) im ganzen Gebiete |x'.|^i. 



3. Beim Beweis darf ohne Beschränkung der Allgemeinheit 



a = o ,b ^ 1 



' Vgl. die in der Einleitung zitierten Stellen bei den HH. VrrALi. Montel 

 lind Severini. Daß auch der im Text genannte Wortlaut, der weniger als VI besagt, 

 von den HH. Montel und Severini niciit einwandfrei bewiesen wurde, haben wii- 

 schon erwähnt. Der Beweis von Hrn. X'itali (der übrigens nur die Regularität von 

 /{.c), nicht die gleichmäßige Konvergenz für | j | ^ .3- feststellen will) enthält eine 

 andere Lücke; es handelt sich um seine Behauptung auf S. 80, Z. 5 v. u., daß sein 

 T{vn) für jeden Punkt von C, konvergiert. Wir sehen keine Möglichkeit, diese Lücke 

 ohne Zuhilfenahme der beschränkenden Voraussetzung auszufüllen, daß mindestens ein 

 X ^ Xo existiert, für welches lim/,i(;ro) von Null und Eins verschieden ist. Die Mög- 

 lichkeit, daß liin/„(j-) für einen Teil des Gebietes gleich Null und für einen anderen 



Teil gleich Eins sei, ist zwar als Folge unseres Satzes ^T ausgeschlossen; für dieses 

 Resultat scheinen aber die Hilfsmittel, welche Hrn. Vi 1 ali zur Verfügung standen, nicht 

 auszureichen. Anderseits müssen wir konstatieren, daß Mr. Montel (auf S. 912 seiner 

 in der P>inleitung zitierten Note) und Hr. Severini (auf S. 188 seiner ebenda genannten 

 Abhandlung) die Stelle bei Hrn. Vitali erwähnen, ohne irgendein Bedenken geltend 

 zu machen. 



54* 



