()00 Sit/.iiriK <le,r phys.-iiiatli. ('lasse v. 18. Mai 11)11. — Mittli. v. 20. April. 

 üngonommen werden, (l;i man .sonst nur nötig hätte, die Funktionen 



fn(x) — a 

 h — a 



an Stelle der fjx) zu betrachten. 



4. Beim Bewei.s darf oline Beschränkung- der Allgemeinheit an- 

 genommen werden, daß der Punkt o zu den Konvergenzpunkten gehört. 

 Denn sonst könnte man, wenn x„ ein bestimmter im Kreise gelegener 

 Konvergenzpunkt ist, durch eine lineare Transformation 



.T — X„ 

 I XX^ 



den P]inheitskrcis so auf sich abbilden, daß x :=■ x„ in ?/ = o lallt, 

 und die P^igenschaften der f„(x) als Funktionen von 7/ liefern unmittel- 

 bar die Behauj)tung('n. 



Beweis: Aus der nach 4. vorhandenen P^xistenz von 

 lun /„ (o) 



folgt 



|/,(o)|<a; 

 bei passender Wahl von w. 



Es sei o < S- < I und S^ fest gegeben. P^s werde oberliall) S-, 

 oberhalb des absoluten Betrages der vorausgesetzten Häufungsstelle 

 und unterhall) l gewählt. Aus der nach 3. gemachten Voraussetzung 



f„{x)=^o und 4^1 für |^|^i 



folgt nach Satz V für | a; | < 



|/„(a:)|<* = 4.(0,0)), 



wo * von n und x unabhängig ist. Die Funktionen /„(.r) sind also 

 für |a;|^0 regulär und gleichmäßig beschränkt. P]s existiert ferner 

 nach Voraussetzung 



lim fn{x) 



für unendlich viele x mit einem Häufungspunkt im Innern des Kreises 

 I x I < 0. Nach dem VixAuschen Satze II ' gibt es daher eine fiir | a; | < 

 reguläre Funktion /(x) derart, daß für |x|<S- gleichmäßig 



\imf„(x)=f{x) 



ist. 



Jenes /(.c) ist somit für |a:| < i regulär, und für |.i-| < i ist 

 \imf„{x)=f{x). 



' Derselbe war oben iiin- l'iir den Kinbeitskreis als (initiilbereicli lormiiliert, 

 er sclbstversliiiifllicii iiifulsedessen aiieii für L-|<H als (iriiiKlbereicli. 



