f. ("ARAiiiKonortv iinil K. Landau: Zur Coiivcr!;en/. von Fiirirtion<'iifolf;iMi. (101 



§5- 

 Wir beweiseil ferner den 



Satz VII: Es sn f„{x) (n = 1,2, ...) fw- \x\<i regulär, ^ a„ 

 und 4^ ()„, wobei nach Annahme eines gewissen festen 7 



I 



ist. Es existiert 



7 . K-'n I < "y ' I "n — f>n 1 



lim/„(a;) 



für unendlich viele Punkte mit einer Häufungsstelle «Vw Innern des Einheits- 

 kreises. Dann ist für | j: | < S-^ wo o < S^ < i ist, gleichmäßig 



\myfM=f{x) 

 vorhanden. 



Dies /(a:) muß natürlich dann für |a;|<i regulär sein. 

 Beweis: Es darf Konvergenz fär a; = o vorausgesetzt werden; 



dann ist 



|/.(o)| 



Für |.r| < 1 ist 



k — a, 



Wenn o<&<i ist und wie beim Beweise des Satzes VI gewählt 

 wird, ist nach Satz V für |x|<ö 



fn {3:) — »n 



<<!• = <l>(0, 7(!^ + 7)), 



bn — On 



WO <1> von n und x unabhängig ist, also 



I /„ (o;) I < I a„ I -+- 1 i„ — a„ I * < 7 -f- 2 7 * . 



Die f„(x) sind also für |a;|^0 gleichmäßig beschränkt. Nach Satz II 

 ist daher für |a:|^S- gleichmäßig 



Um/„(a;)=/(x) 



vorhanden, womit Satz VII bewiesen ist. 



Den Gedanken, die Ausnahmewerte a„ und />„ von n aljhängig 

 zu lassen, hat aucli schon Ilr. Vitali' angewendet; sein diesbezügliches 



' \'n\. S. 82 seiner in der Kinlcitiing /.itierteii Arlieit. 



