C. Carathkodory lind E. Landai:: Zur (\inversenz von Fiinctionenfülgen. 603 



folye von (8) finr neue Teilfohje nnsaondern kann, die für |.r| < i r/egen 

 eine daselbst ineromorphe Funktion konvergiert^. 



Bann ist entweder die Folge (8) für \x\<i gegen eine dort mero- 

 morplie Funktion konvergent^, oder die Menge der Konvergenzpunkte der 

 Folge (8) wh Kreise \x\<.i hat in dessen Innern keine Hüufungsstelle. 



Beweis: i. Es existiere 



lim F^{x) = F{x) 



für |x] < I . Dann ist F{x) für | j;| < i meromori^h; denn wir können 

 nach Voraussetzung eine Teilfolge von (8) bilden, die gegen eine für 

 |:t;| < I inei-omorphe Funktion konvergiert, und diese muß mit F{x) 

 identisch sein. 



2. Es existiere 



lim F„ (x) 



nicht im ganzen Einheitskreise. Es sei x^ ein Divergenzpunkt im Ein- 

 heitskreise. Dann hat die Folge 



mindestens zwei verschiedene Häufungsstellen a , ß , falls der Punkt 

 oo CA-entuell mitgezählt wird. Man kann also aus (8) zwei Teilfolgen 



(9) F^^(x),F,Jx),...,F^,(x),... 

 und 



(10) F^^(x),FJx),...,F,.^{x),... 



aussondern, für welche 



lim F^^.{x„) = d 



und 



lim i';^.(a-,) = ^ 



ist. Nach Voraussetzung können wir aber aus (9) eine Teilfolge aus- 

 sondern, die für | x | < i gegen eine dort meromorphe Funktion *, (x) 

 konvergiert; ebenso aus (10) eine Teilfolge, die für |x| < i gegen 

 eine dort meromorphe Funktion $3 [x) konvergiert. Dann ist 



*,(x) — *Ja;) = ^{x) 



für |'i'|< I meromorph, aber nicht identisch o, weil 



* (a-„) = et — /3 4= o 



' In der Terminologie von Hrn. Frecuet würde man diese Bedingung aus- 

 drücken, indem man sagt, daß die Menge i^, , Fj, ••• kompakt ist; vgl. seine These 

 Sur 'quelques points du Caloul Fonctionnel [Rendiconti del Cii-colo Matematico di Palermo, 

 Bd. XXII (1906), S.i— 74], S.6. 



^ In einein Pole der Grenzfunktion bedeutet dies nacli dem Obigen, daß der 

 Limes der Folge ^o ist. 



