004 Sit/.iing der phys.-inatli. Classc. v. 18. Mai 1911. — Mittli. v. 20. April. 



i.s(. Folglich hat die Menge der Nullstellen von * (.r) im Innern de.s 

 Krei.ses |j:| < i keine Häufungsstelle. Die Folge (8) knmi al.er höcli- 

 stens in Nullstellen von * (x) konvergieren. 



Damit ist der dritte Hilfssatz bewiesen. 



Es ist nun nützlich, folgende Definition einzufiihren. 



Definition: Es sei ^ (x) für \x\<r, wo r>o L«t, meromorph: 

 * (.1) sei also dort regulär mit etwaiger Ausnahme endlk-li vieler Pole jp, , ■ • • , 

 .!> . Biese Pole seien irgendwie durch solche Kreise K,, . , K ausge- 

 schnitten, daß für jede dieser Kreisflächen ausseht, des Mittelpunktes, aber 

 einschl. des Randes <I>(.r) regulär und von Null verschieden ist. Dann 

 fieiße eine Funktionenfolge 



F,(d), t\(x), ... ad Inf. 



ßir \x\<r gleichmäßig gegen *(a) konvergent, wenn nicht nur ßir |.ij^/- 



lim F„(x) — ^{x) 



ist, .sondern erstens in demjenigen Teil des Kreises |.r|<r, der außerhalb 

 von K,, .., h], liegt, im üblichen Sinne gleichmäßig 



lim F„{x) = ^{x) 



ist, zweitens im übrigen Teile des Kreises \x\< r im üblichen Sinne gleich?uäßig 



lim -=— — =: 



n = coF„{x) <t(x) 



ist. 



Diese Definition mul,i durch die — leicht l)eweisbare — Bemer- 

 kung gestützt werden: Wenn bei einer Wahl der Kreise^,, ■••,Ä^ 

 sie gleichmäiSige Konvergenz liefert, so liefer^ sie di^ gleichmäfäige 

 Konvergenz auch bei irgendeiner anderen Wahl K,, ■■, jl^ jener Kreise. 

 In der Tat werde der Ring zweier verschiedener Kreise K^ , K^ um 

 den Polj;, ins Auge gefaßt, deren Radien p,,p„ seien; es sei etwa 

 p.. < P„ . Dann hat | * {x) \ für den Ring f>.<\x-x^\< ^„ eine positive un- 

 tere und eine endliche obere Grenze, und die beiden Au.ssagen ..i^„(a-) 

 konvergiert für den Ring im üblichen Sinne gleichmäßig gegen ^(.r)« und 



^IFJ^) ^^^^^^gi«i"<^^ *"r den Ring im ül)lichen Sinne gleichmäßig gegen 



I 

 — « sind vöUig gleichbedeutend. Die Definition hängt also, wie es 



sich gehört, nur von den Funktionen F,(x) , nicht etwa von der Größe 

 der Radien der um die Pole ihrer Grenzfunktion gezogenen Kreise ab.' 

 Wir können jetzt den dritten Hilfssatz folgendermaßen vervoll- 

 ständigen : 



