C. Caüaiiii'udory Miul K. Landat: Zur Coiivergenz von Fiiiicliniifiifolgen. 605 



Vierter Hilf.ssatz: Die Funktionen (8) fifien für |,r|<i eiii- 

 (ieuti(j rrkUirl. Es lasse sich aus jeder Teilfolge con (8) eine neue Teil- 

 folge aussondernj die für \x\<.i gegen eine vieromorphe Funktion kon- 

 vergiert^ und zwar bei festem 3- zwischen o (ausschl.) und i (ausscM.) 

 für \x\^^ gleichmäfiig. 



Es sei die Folge (8) fi/r |j:|<i konvergent. Dann konvergiert sie 

 gleichmäßig für | a; | ^ S-. 



Beweis: Die Folge (8) konvergiert nach dem dritten Hilfssatz für 

 |.t| < I gegen eine dort meromorphe Funktion F{x). Wir behaupten, 

 daß diese Konvergenz für |a;|^S- eine gleichmäßige ist Die etwaigen 

 Pole von F{x) im Gebiete | o- 1 < S- seien x,, ■■■ , Xp-, es seien K^, ■■ , Kp 

 irgendwelche Kreistlächen um x,, ■■■, Xp, die einschließlich ihres Ran- 

 des keine singulare Stelle und keine Nullstelle von F (x) enthalten. 



Gesetzt, die Konvergenz von (8) sei für |a;|^S- ungleichmäßig. 

 Dann existieren ein positives (5 und unendlich viele verschiedene po- 

 sitive ganze Zahlen 



und ihnen entsprechende komplexe Zahlen 



im Ge])iete |a?|^3- derart, daß 

 bzw. 



ist, je nachdem yj innerhalb einer der Kreistlächen K,, ■■■ , K^ (einschl. 

 Rand) liegt oder nicht. Unter diesen Umständen wäre es aber un- 

 möglich, aus_ der Folge 



F.^^{x),F^p), ■■■ 



eine Teilfolge auszusondern, die füi- |^|SS- gleichmäßig gegen F(x) 

 konvergiert. Damit ist der vierte Hilfssatz bewiesen. 



Wir wollen jetzt folgenden Satz beweisen, der den Satz VI als 

 Spezialfall enthält. 



Satz VIII: Es seien die analytischen Funktionen 



(II) fMjM),--,fn{^),-- 



für I X I < I mero/norph. Es gebe drei verschiedene komplexe Konstanten ' 

 a , b,c und drei positive ganze Zahlen' k, l,m mit folgenden Eigenschaften. 



' Eine der Zalileii a, h, c darf oo sein. 



^ Jede der Zalilen k, l, m darf oo sein, k = co bedeutet z. 15. bei endlichem a, 

 daß die Funiition /„(x) — o identisch o ist oder für o<|j;|<i niciit verschwindet. 



