606 Sitzung der phys.-math. Classe v. 18. Mai 1911. — Mitth. v. 20. April. 

 Ersten.!^ ist 



Zweitens kit für o < | x | < i jede Nullstelle von f„ (x) — a {bzw. für a ^ od 



von ) ihre Ordnung^ durch k teilbar '\ und es gilt das Entsprechende^ 



fn{x) 



wenn a , k durch b , l bzw. c , m ersetzt tvird. 



Ferner existiere 



lim f^{x) 



für unendlich viele Punkte^ die mindestens einen Häufungspunkt im Innern 

 des Einheitskreises haben; dieser Grenzwert sei für tnindestens einen dieser 

 Punkte endlich. 



Dann ist für alle x des Gebietes \x\<ii 



\im^f„{x)=f(x) 



vorhanden und meromorph. Ferner ist^ icenn o < S- < i und S- fest ist^ 

 für \x\^^ gleichmäßig 



VimJAx) = f(x) . 



Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir von 

 vornherein annehmen, daß k,l und m endlich sind. Denn andern- 

 falls kann man für diejenigen dieser drei Zahlen, die oo sind, solche 

 endlichen Zahlen setzen, daß fär das neue, endliche System k' , l' , ni 



I I I 



k' l' m' 



ist, also alle Voraussetzungen des Satzes Vlll gelten. 



Wir werden zeigen, daß man aus der Folge (ii) eine TeiLfolge 

 aussondern kann, die für |a;|<i gegen eine meromorphe Funktion 

 konvergiert, und daß fiir |x|^S- die Konvergenz eine gleichmäßige ist. 

 Wenn wir das gezeigt haben werden, so dürfen wir es offenbar statt 

 auf (i i) auf jede beliebige Teilfolge von (i i) anwenden; es wird sicli 

 alsdann aus dem dritten Hilfssatz ergeben, daß die Folge ( i i ) fiir 

 I a; I < I gegen eine dort meromorphe Funktion f{x) konvergiert, und 

 aus dem vierten Hilfssatz, daß diese Konvergenz für | x | ^ 9- eine gleich- 

 mäßige ist, womit alles im Satz VIII Behauptete begründet sein wird. 



' Wenn die Funktion identisch o ist, sagen wir, die Ordn\mg (oo) sei für jedes 

 X und jedes k durch k teilbar. 



^ D. li. {fn{x) — a)*' bzw. I -^ I* ist in der Umgebung jeder Nullstelle im 



Gebiete o < | .r| < i unverzweigt. 



