C. Carathkodoky und li. Landau: Zur t'onvergenz von Funclioiit'iil'olgeii. bO;) 



Durch die Funktion il {y) wird auf das Innere des Kreises 1 12 1 < i 

 eine RiEMANNSche Fläche koulbnn abgebildet, die aus unendlich vielen 

 Blättern bestellt, von denen immer je k im Punkte y = o, je Mm 

 Punkte y = 1 und je vi im Punkte y = co zusammenhängen, mit Aus- 

 nahme eines einzigen Blattes dieser Fläche, das im Punkte y = o un- 

 verzweigt ist. Dies Blatt entspricht dem Zweige, den wir soeben 

 betrachteten. 



Nun kehren wir zu unseren Funktionen (/>,j(;r) zurück und setzen 

 sie för y in il (y) ein ; wir können und wollen dabei festsetzen, daß 

 dem Punkte </)„(o) immer ein Punkt des Innern oder des Randes von 

 Sl entsprechen soll. Genauer soll, wenn (p„(o) auf dem Schnitt von 

 I bis oo liegt, derjenige Wert in 12 genommen werden, der einem be- 

 stimmten Ufer des Schnittes entspricht. Dann ist für jedes n 



12„(a;) = i2(</>„(.r)) 



im Punkte a: = o eindeutig bestimmt und für | .t | < i regulär, mit 

 Rücksicht auf die oben zusammengestellten Eigenschaften der Funk- 

 tionen (/)„ und 12. In der Tat ist jeder Punkt des Gebiets o < |a;| < i, 

 in Avelchem </)„(j) einen der Werte o, i oder oo hat, regulärer Punkt 



für- ((/'„ (.r))* bzw. ((/)„(a;)— i)' bzw. ( , t)"'> also regulärer Punkt 



fiir 12 {(p^{x)). 



12,, {x) ist daher für |.r| < i regulär; überdies ist für la;| < i nach 

 den Eigenschaften der 12-Funktion 1 1\ {x) | < i • 



Wir können also wie beim Beweise des Satzes II aus der Folge 

 Q, , 12, , • . eine Teilfolge 



12,_ , 12,^, ..., 12,., ■•■ 



aussondern, die fiir |a;|<i gegen eine reguläre analytische Fimktiou 

 12^ (a-) konvergiert, und zwar bei festem S- zwischen o und i gleich- 

 mäßig für |x|<S-. Für |a;|<i ist dann 



|"c(^)|^i; 

 da nun 



I i2„ (o) I = I lim V. (</>„ (o)) I = 1 12 (y/„) I < I 



|"o(^) 



ist, so ist für | o: | < i 

 denn wäre einmal 



wobei I a;' I < I ist, so wäre 12„ {x) gewiß keine Konstante ; also wäre 

 in einem passend wälilbaren Punkte x" im Innern des Einheitskreises 



1 12„ (x") I > I . 



