610 Sitzung der phys.-niath. Classe v. 18. Mai 1911. — Mittli. v. 20. April. 



Wir behaupten, daß die entsprechenden Funktionen 



f.^. (x) = y {^{<p,.{x))) =y{i\y)) , 



welche nach Voraussetzung fiir |^|<i meromorph sind, dort fiir 

 J = oo einem Limes (/> (x) zustreben, und zwar für |a;|<& gleichmäßig. 

 Läl3t man,y bei festem x wachsen, so konvergiert n, (x) für |x| < i 

 gegen il^ (x) ; da für | i^' | < i 



lhny(n)=y{V:) 



ist, so existiert 



Hm cp^^ix) = y(i2,(a:)) = cp{x). 



Diese Funktion y (i2„ (x)) ist nun für \x\<i entweder meromorph 

 oder konstant oo. Nach (13) hängen die Funktionen (p„{x) mit unseren 

 ursprünglichen Funktionen f^^{x) durch eine linear gebrochene Sub- 

 stitution zusammen. Aus der Reihe der f„{x) können wir also eine 

 Teilfolge aussondern (nämlich die aus denjenigen /^^(a;) bestehende, für 

 welche n = Xj ist), die für | a: | < i konvergiert, und zwar entweder 

 gegen eine dort meromorphe Funktion oder gegen 00; letzteres ist 

 aber ausgeschlossen, da wir von vornherein nur solche Folgen /„(x). 

 betrachtet haben, die für mindestens einen Wert von x gegen eine 

 endliche Zahl konvergieren. 



Es bleibt zu beweisen, daß die Konvergenz für |x|<S- eine 

 gleichmäßige ist. Dazu ist es hinreichend festzustellen, daß für jedes 

 x im Einheitskreise eine Umgebung existiert, in welcher die Kon- 

 vergenz eine gleichmäßige ist. Es sei also 



und es werde 



und 



gesetzt. Dann ist sicher 





|C|<i. 



Nun nehmen wir einen beliebigen Kreis um C, der dem Innern des 

 Einheitskreises der J^-Ebene angehört und so klein ist, daß außer 

 höchstens der Stelle 'Q keine einzige Nullstelle und kein Pol der 

 Funktion y{Q.) in ihm oder auf seiner Peripherie liegt. Es sei 2 p 

 der Radius dieses Kreises und o" der Radius eines Kreises der x- 

 Ebene, dessen Mittelpunkt ^ ist und der so klein ist, daß für alle 

 seine Punkte 



|.-^|<iHä 



