C. Caratheüdory und E. Landau: Zur Couyergen/. von Functioiicnfulgen. 611 



und 



\il„{x)-'C\<p 



ist. Dann wird im selben Kreise der x-Ebene wegen der gleichmä- 

 ßigen Konvergenz der Folge i1„.(x) von einem gewissen / an 



sein. Unter den von uns gemachten Voraussetzungen zieht dadurcli 

 die gleichmäßige Konvergenz (im üblichen Sinne) der ü«.(a-) diejenige 



der (p^ (x) (bzw., falls v; ^ oo ist, diejenige von — ; — ) nach sich. 



Hieraus folgt schließlich, daß die f,/^{x) auch gleichmäßig kon- 

 vergieren. 



§7. 



Wir können jetzt genau wie beim Satze VII die Zahlen a , /> , c 

 von n abhängig machen, wenn nur gewisse Bedingungen erfüllt sind. 

 Das Ziel dieses Schlußparagraphen ist nämlich der 



Satz IX: Es seien die analytischen Funktionen 



(15) fAx) ,fM, ■■■ ,Ux), ■■■ 



für \x\ <. i nwromorph. Es seien k , l , m drei positive ganze Zahlen (ein- 

 schließlicJi co) und 



I 1 1 



k l m 



Jeder Funktion der Folge (15) seien drei verschiedene Konstanten a„ , 6„ , r„ 

 7nit folgenden Eigenschaften zugeordnet. Erstens sind für keine Teilfolge 

 ?i,, bei der 



lim a„ = a , lim h„ = ß , lim c„ = y 



existieren, irgend zwei unter den drei Zahlen a , ß , y einander gleich. 

 Zweitens hat für o < | a; | < i jede Nullstelle von /„ {x) — a„ (bzw. für 



a„ = 00 von -— — ) ih)-e Ordnung durch k teilbar, und es gilt das Ent- 



sprechende, wenn a„ , k durch 6„ , / bzw. c„ , m ersetzt wird. 

 Es existiere 



(16) lim /„(.(■) 



für unendlich viele Punkte^ die mindestens einen Häufungspunkt im hinern 

 des Einheitskreises haben; dieser Grenzwert (16) sei für mindesteTis einen 

 dieser Punkte endlich. 



Dann ist für alle x des Gebietes | .f | < i 



lim/„(.T) =f(x) 



