C. C'ARATHiioDORY Und E. Landau: Zur Convergenz von F^iinctionenlblgen. 613 



Sie haben also genau dieselben Eigenschaften wie die Funktio- 

 nen (p„{x), die wir zum Beweise des Satzes VIII eingeführt haben. 

 Wir können nach dem damals Geschlossenen aus dieser Folge eine 

 neue Folge 



«Z^, (•'•)> «/'.J-i-),- •, ^.ji^>-1 , ■ ■ ■ 

 aussondern, so daß 



lim (p,.(.v) = <p{x) 



für I a; I < I existiert und eine meromorphe Funktion oder die Zahl oo 

 darstellt, und daß außerdem für | ,i' | ^ 3- die Konvergenz eine gleich- 

 mäßige ist. 



Wenn wir nun zu den /, (x) zurückkehren, so sehen wir, daß 

 wir im Besitz einer Teilfolge sind, die für |;c| < i konvergiert, und 

 zwar gegen eine dort meromorphe Funktion oder gegen oo; letzteres 

 ist nach Voraussetzung ausgeschlossen. 



Daß diese Konvergenz für |.r|<9- gleichmäßig ist, ersieht man 

 ebenso wie beim Beweise des Satzes VIII. 



SchM. 



Die ganzen Resultate dieser Untersuchungen dürfen wir wohl als 

 recht merkwürdig bezeichnen; hatte doch bereits Stieltjes, der eine 

 gewisse Zwischenstation zwischen Satz I und Satz II (historisch die 

 erste über Weierstrass hinausgehende) erreicht hatte, in einem Briefe 

 an Hermite' (vom 14. 2. 1894) seiner Verwunderung über sein eigenes 

 Ergebnis in folgenden Worten Ausdruck verliehen: »ayant longuement 

 retlechi sur cette demonstration, je suis sür quelle est bonne, solide 

 et valable. J'ai du l'examiner avec d'autant plus de soin qua priori 

 il me semblait que le theoreme enonce ne pouvait pas exister et devait 

 itre faux. Je vous avouerai cependant que je serais hexireux si quel- 

 qu'un voulait examiner la demonstration; peut-etre M. Picard qui a 

 le coup d'o^il si facile et si juste . . . « Mit ähnlichen Empfindungen 

 hatte Landau im Jahre 1 904 den Beweis seiner Verallgemeinerung des 

 PicAEDSchen Satzes betrachtet und lange mit der Publikation gezögert, 

 da auch der Beweis richtig, aber der Satz zu unwahrscheinlich er- 

 schien. Und nun findet das merkwürdige Zusammentreffen statt, daß der 

 SxiELTJESSche Satz (in der VixALischen Verschärfung) und der Landau- 

 sche Satz (in der ScHOXTKY-LANDAuschen Verschärfung) vor dasselbe 

 Problem mit Erfolg gespannt wurden. * 



' Conespondance d'HERiuiTE et de ötielijes, Bd. II (1905) [S. 368 — 370], S. 370. 



Ausgegeben am 1. Juni. 



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