1. Schür: Über Gi-iippen periodischer linearer Sulistitutionen. (51 9 



Über Gruppen periodischer linearer Substitutionen. 



Von Prof. Dr. I. Schur 



in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Froblnius.) 



xLine lineare homogene Substitution 



{A) x[. ^ a^iXi + ai.3X.2+ ■■■ + O/in Xn (^ =^ 1 , 2 , • ■ ■ , n) 



nennt man periodisch, wenn unter ihren Potenzen A , A^ , A'' , ■■■ die 

 identische Substitution E vorkommt. Der kleinste Exponent m, für 

 den A"' = E wird, heißt die Ordnung von A. Notwendig und hin- 

 reichend für die Periodizität einer Substitution A ist, daß die charak- 

 teristische Determinante | A - xE | von A nur für Einheitswurzeln c, , 

 P2 , • • • , c„ verschwindet und lauter lineare Elementarteiler besitzt. Die 

 Ordnung von A ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der 

 Exponenten, zu denen die Einheitswurzeln Pi,pi, ■ ■ ■ , pn gehören. 



Unter einer periodischen SuhstihiHonsgruppe verstehen wir im fol- 

 genden eine Gruppe linearer homogener Substitutionen, die sämtlich 

 periodisch sind. Zu diesen Gruppen gehören insbesondere alle end- 

 lichen Gruppen linearer Substitutionen von nicht verschwindenden 

 Determinanten. Es gibt aber auch unendliche Gruppen dieser Art. 

 Das einfachste Beispiel bildet die Gesamtheit der Substitutionen 

 x' = px, wo p alle Einheitswurzeln durchläuft. Ferner erzeugt jedes 

 unendliche System von Substitutionen der Form 



WO pi, Pi, ■■■ , pn Einheitswurzeln sind und a^ , u^, ■■■,01,^ bis auf die 

 Reihenfolge die Zahlen 1,2, ■■■ ,n bedeuten, eine unendliche perio- 

 dische Substitutionsgruppe. 



Ein einfaches Kriterium für die Endlichkeit einer periodischen 

 Substitutionsgruppe verdankt man Hrn. W. Burnstoe', der gezeigt hat, 



' On criteria for the ßniteness of the order of a group of linear suhstituüons, Pro- 

 ceedings of the London Matheniatical Society, Ser. 2, Vol. 3 (1905), S. 435. Vgl. auch 

 A. LoEWY, Über dk Gruppen linearer homogener Substitutionen vom Typus einer endlichen 

 Gruppe, Math. Annalen, Bd. 64, S. 264. 



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