()2n GesaiiinitsitzunL; vom 1. Juni l'.lll. 



(laß eine solche Gruppe stets und nur dann endlich ist, icenn die Ordnungen 

 aller Substitutionen der Gruppe unterhalb einer endlichen Schranke liegen. 

 Unter Benutzung dieses Kriteriums soll hier gezeigt werden, daß 

 für jede periodische Substitutionsgruppe ® in n Variabein folgende 

 Sätze bestehen: 



I. Jedes System von endlich vielen Substitutionen der Gruppe ® er- 

 zeugt eine endliche Gruppe. 



II. Die Gruppe ® i'^t eine HER.viTHSche Gruppe^, d. h. es gibt min- 

 destens eine positiv definite HEnmiTESche Form (von nicht verschwindender 

 Determinantejj die durch jede Substitution von ® in sich transformiert wird. 



III. Die Gruppe ® enthält eine invariante AsELSche Untergruppe 51^ 

 deren Index endlich ist und unterhalb einer allein von n abhängigen Schranke 

 liegt, sowie eine endliche Untergruppe ö^ deren Elemente zusammen mit den 

 Eleinenten von 21 die ganze Gruppe ® erzeugen. 



Durch diese Sätze wird die enge Verwandtschaft der allgemeinen 

 periodischen Substitutionsgruppen mit den endlichen Gruppen dar- 

 getan. Der Satz III bildet ein Analogon zu dem bekannten von Hrn. 

 C. Jordan herrührenden Theorem über endliche Gruppen und liefert 

 ein Verfahren zur Aufstellung aller periodischen Substitutionsgruppen 

 mit gegebener Variabelnanzahl. Der Beweis dieses Satzes wird hier 

 geführt mit Hilfe einer von Hrn. L. Bieberbach' angegebenen und von 

 Hrn. G. Frobenius" vereinfachten Methode. 



§ I- 

 Der Beweis des Satzes I stützt sich auf folgenden Hilfssatz: 

 Es seien ou, , w^ , ■ • ■ , w^ beliebige reelle oder komplexe Zahlen und es 

 sei K = P(w, , Wj , • ■ • , oo^) derjenige Zahlkörper, der aus dem Körper P 

 der rationalen Zahlen durch Adjunktion von w, , cuj , ■ ■■ , w^ hervorgeht. 

 Dann ist der Teilkörper A von K_, der von den in K enthaltenen (in bezug 

 auf V) algebraischen Zahlen gebildet wird^ ein endlicher algebraischer Zahl- 

 körper über P. Ist ferner n eine ganze rationale Zahl, so gibt es nur 

 emilich viele Einheitswurzeln p_, die Gleichungen nten Grades mit Koeffi- 

 zienten aus dem Körper K genügen. 



Wii- können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, 

 daß unter den p Größen w, , w^ , ■■■ , m^ die ersten q transzendente Zahlen 

 sind, zwischen denen keine algebraische Gleichung 



('•) 2^">-^ ",'«?«';=■■•%■'= 



' Vier einen Satz des Hm. C. Jordas in der Theorie der endlichen Gruppen linearer 

 Substitutionen, Sitzungsberichte 191 1, S. 231. 



- Über den von L. Bieberbach gefundenen Beweis eines Satzes von C. Jordan, 

 Sitzungsberichte 1911, S. 241. 



