I. Schur: Über Gruppen periodischer linearer Suljstitutioncii. ()21 



mit rationalen Koeffizienten besteht, während für v > q die Zahlen 

 w, , Wj , ■•,»,, w„ durch eine Gleichung dieser Art verbunden sind. Es 

 gibt dann auch keine ganze rationale Funktion /(a-, , a:^ ,..-, .r^) mit 

 algebraischen Koeffizienten, die für *•, = w, , x^ = ui.,, ■■■ , .r, = w, ver- 

 schwindet. Denn ersetzt man in / die Koeffizienten auf alle mög- 

 lichen Arten durch die konjugiert algebraischen Zahlen, so würde das 

 Produkt F(x, , x, , ■ • • , x,) der so entstehenden Funktionen /,/', /", • • 

 eine ganze rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten werden. Da 

 aber auch jP(w, , Wj, ■••, w,^) = wird, so würden wir eine Gleichung 

 der Form (i.) erhalten. 



Bezeichnet man nun den Körper P(w, , w^, ■■■ , w,^) mit 12, so sind 

 w,,+,, w,+2, ■■■,tJüp als algebraische Zahlen in bezug auf 12 anzusehen, 

 daher wird 



K = ff (ui, + i , a), + 2 , • • ■ , ay ) 



ein endlicher algebraischer Zahlkörper über il. Ist k der Grad dieses 

 Körpers, so besteht für je k+ 1 Zahlen a.i,ot,^, .--jcc^.^^ von K eine 

 Gleichung der Form 



Vi'^i + 92^2 + • • • + «P-t + l^-l + l = 0, 



wo 'fi , cpa , ••• , cpx + 1 gewisse ganze rationale Funktionen von w^,ui^, 

 ■ ■ ■ , u),^ mit rationalen Koeffizienten sind. Die linke Seite dieser Glei- 

 chung läi3t sich als ganze rationale Funktion von u)^ , w^, ■ ■ ■ , u),^ schrei- 

 ben, deren Koeffizienten die Form 



(2.) «1«, + aoa, + • ■• + ßx.+ iaA.|., 



besitzen, wo «, , a, > ■• > "-i + i rationale Zahlen bedeuten. Sind aber 

 speziell ot, , a.^ , ■ ■ ■ , ct^j^^ (in bezug auf P) algebi-aische Zahlen, so müssen 

 alle Koeffizienten (2.) verschwinden, denn andernfalls würde sich für 

 uj, , »2 , ■ • ■ , w, eine Gleichung mit algebraischen Koeffizienten ergeben. 

 Der Teilkörper A von K besitzt also die Eigenschaft, daß je A: + 1 

 der in ihm enthaltenen Zahlen in bezug auf F linear abhängig sind. 

 Hieraus folgt aber, daß A ein endlicher algebraischer Zahlkörper über 

 P ist, dessen Grad höchstens gleich h wird. 



Ist nun p eine primitive m te Einheitswurzel, für die eine Gleichung 

 rtten Grades mit Koeffizienten aus dem Körper K besteht, so denken 

 wir uns die Gleichung 



(3.) ,/■(•'■) = j;"' + Äij;"'-' + ••• +A:,/ = («'<») 



niedrigsten (Jrades gebildet, der p im Körper K genügt. Dann muß 

 /(,r) ein Divi.sor von x"' -\ sein. Die Wurzeln der Gleichung (3.) sind 

 daher sämtlich «?te Einheitswurzeln, und demnach die Koeffizienten 

 l>\,k.^, ■ ■ ■ , k„- algebraische Zahlen, die als (Jrößen von K im Körper A 

 enthalten sein müssen. Bildet man nun aber, wenn / der (irad des 



