622 Gesamnitsitzung vom I.Juni 1911. 



algebraischen Zahlkörpers A ist, das Produkt 5' (x) der l z\x f{x) kon- 

 jugiert algebraischen Funktionen /, /', ■ •■,/''"'^ so wird g{x) eine 

 ganze rationale Funktion des Grades n' l mit rationalen Koeffizienten, 

 die für x = p verschwindet. Die Gleichung niedrigsten Grades, der 

 p im Gebiete der rationalen Zahlen genügt, ist aber die mte Kreis- 

 teilungsgleichung, deren Grad gleich cp(?«) ist. Daher ist 



qi(»«) S n' l <. nl. 



Hieraus folgt aber, daß m bei festgehaltenem n eine gewisse endliche 

 Schranke nicht überschreiten kann. Daher kommen für die Einheits- 

 wnrzel p nur endlich viele Werte in Betracht. 



Es sei nun ® eine beliebige periodische Substitutiousgruppe in 

 n Variabein. Man wähle in @ irgendwelche endlich viele Elemente 

 Ht , H^, ■ ■ , H^ und betrachte die durch sie erzeugte Untergruppe § 

 von ®. Die Koeffizienten einer Substitution H von .S) sind dann ge- 

 wisse ganze rationale Funktionen der p =: n'r Koeffizienten w, , w.^, • • ■ , w^ 

 von Hl, H^, ,11^, also in dem Körper K = P(ou; , Wj , ■ • • , Wp) ent- 

 halten. Die charakteristische Gleichung \H-xE\ = von H ist da- 

 her eine Gleichung nten Grades, deren Koeffizienten dem Körper K 

 angehören. Die Wurzeln dieser Gleichung sind aber, da H als Ele- 

 ment von @ periodisch ist, Einheitswurzeln. Aus dem oben bewie- 

 senen Hilfssatz ergibt sich daher, daß unter den charakteristischen 

 Wurzeln aller Substitutionen H von § nur endlich viele voneinander 

 verschiedene Größen vorkommen. Folglich kommen auch für die 

 Ordnungen der Substitutionen H nur endlich viele Werte in Betracht. 

 Nach dem BuRNSioESchen Kriterium ist daher Ö eine endliche Gruppe. 



§2. 

 Eine Gruppe (S linearer homogener Substitutionen in n Variabein 

 wird als Irreduzibel bezeichnet, wenn sich kein System von m < n 

 Linearformen yi,y^, ■■■ ,ym angeben läßt, die durch alle Substitutionen 

 von ® untereinander linear transformiert werden. Die Gruppe ® 

 heißt ferner vollständig reduzibel, "wenn sie sich durch eine lineare 

 Transformation P der Variabein in eine mit ihr ähnliche Gruppe 

 @' = P(§)P-^ überführen läßt, welche die Form 



■®, ■•• 



®'=| ®^ ■■■ '-' 



■■• ©/. 



besitzt, wo ©1,0^^, • • , %,, irreduzible Gruppen sind. Diese k Gruppen 

 sind, wenn ähnliche Gruppen als nicht voneinander verschieden an- 



