I.Schur: Ubei- Gruppen periodischer linearer .Substitutionen. 623 



gesehen Averden, durch die Gruppe (i*«^ bis auf die Reihenfolge ein- 

 deutig bestimmt und werden aLs die Irreduziblen Bestandteile von ® 

 bezeichnet. Zu den vollständig reduziblen Gruppen gehören insbe- 

 sondere die endlichen Gruppen und allgemeiner alle HERMiTESclien 

 Gruppen. Umgekehrt ist jede vollständig reduzible Gruppe, deren 

 irreduzible Bestandteile HERMixEsche Gruppen sind, selbst eine Heemite- 

 sche Gruppe ' . 



Um nun den Satz II zu beweisen, genügt es zu zeigen: 



1 . Jede periodische Substitutionsgruppe ® ist vollständig reduzibel. 



2. Eine irreduzible periodische Substitutionsgruppe ist eine Her- 

 MiTESche Gruppe. 



Es sei nämlich /• die Anzahl der linear unabhängigen Substitu- 

 tionen in der Gruppe @. Besitzen dann die Substitutionen H^, H^, ■ , H, 

 diese Eigenschaft, so läßt sich jedes Element G von ® in der Form 



(4.) <j = «ifii + 02-03 + ■ • ■ + a,Hr 



darstellen. Nun ist aber die dm-ch H^, H^, ■■■ , H, erzeugte Unter- 

 gruppe <ö von © nach Satz I eine endliche Gruppe, also vollständig 

 reduzibel. Ist insbesondere ^ eine irreduzible Gruppe, so ist a fortiori 

 auch (^'^ irreduzibel. Im anderen Falle bestimme man die lineare Trans- 

 formation P der Variabein, so daß P^P'' vollständig zerfällt. Dann 

 lehrt uns die aus (4.) hervorgehende Gleichung 



PGP-' = a,PH,P-'+a^PH,P-'+ ■■■ +a,PHrP-\ 



daß PGP~' in derselben Weise zerfällt wie die Substitutionen der 

 Gruppe P^P~\ Da dies für jedes Element G von ® gilt, so ist ® 

 eine vollständig reduzible Gruppe. Zugleich ergibt sich, daß ® nur 

 dann irreduzibel ist, wenn unter den endlichen Untergruppen von ® 

 auch irreduzible Gruppen vorkommen. 



Es sei nun ® eine irreduzible periodische Substitutionsgruppe, 

 § eine irreduzible endliche Untergruppe der Ordnung h von ®. Wir 

 können dann jedenfalls eine positiv definite HEEMixEsche Form F an- 

 geben, die durch alle Substitutionen von »ö in sich transformiert wird. 

 Diese Form F i.st ferner, da ö ii'reduzibel ist, bis auf einen konstanten 

 Faktor eindeutig bestimmt". Ich behaupte nun, daß auch jede be- 

 liebige Substitution G von ® die Form F ungeändert läßt. In der 

 Tat sei i)' die durch die h Elemente von .S3 und das Element G er- 

 zeugte Gruppe. Da ^' nach Satz I wieder eine endliche Gruppe ist, 



■ Vgl. den Artikel von Hrn. A. Loewv in Pascals Repertoriuin der höiieren 

 Mathematik, 2. Auflage, Bd. I, Kap. III, § 9. 



^ Vgl.W. BuRNSiDE, Ort ihe reductinn of a group qf homogeneo7is linear substitutions 

 of finite Order, Acta Matheinatica, Bd. 28, S. 369; ferner G. Frobenius und I. .Schur, 

 Üljer die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen, Sitzungsberichte 1906, .S. 186. 



