624 Gesanimtsitzung vom I.Juni 1911. 



SO gibt es eine positiv definite HEEMixESche Form F', die durch alle 

 Substitutionen von iS' in sich übergeführt wird. Diese Form wird 

 aber speziell auch durch die Substitutionen von Ö nicht geändert und 

 muß sich daher von F nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. 

 Hieraus folgt aber, daß die Substitution G die Form F in sich trans- 

 formiert. Hiermit ist der Satz II vollständig bewiesen. 



Bestimmt man, wenn F eine positiv definite HERMiiESche Form 

 der Variabein ;c, , a-j , ■ • ■ , x„ ist, die durch alle Substitutionen einer 

 Gruppe ® nicht geändert wird, die lineare Transformation 



(P) y/. = PkiX^-\-pi...iXi+ ■■■ +p^-„.v„, (A^ 1,2, •■• ,n) 



so daß 



^^ = l»/i|' + l.y2i'+ ■ ■ + |y"l' 



wird, so führen die Substitutionen der mit ® ähnlichen Gruppe P®P'^ 

 die HERMiTESche Einheitsform in sich über. Eine solche lineare Sub- 

 stitution bezeichnet man als unitär. Der Satz II läßt sich daher auch 

 folgendermaßen aussprechen : 



II*. Jede periodische Substitutiotisyruppe ist einer Gruppe imitärer 

 Substitutionen ahnlich. 



Eine unendliche Gruppe unitärer Substitutionen besitzt stets in- 

 finitesimale Operationen, d. h. es läßt sich zu jedem positiven £ eine 

 von der identischen Substitution E verschiedene Substitution A der 

 Gruppe angeben, deren Koeffizienten sich dem absoluten Betrage nach 

 von den Koeffizienten von E um weniger als t unterscheiden'. Aus 

 II* ergibt sich daher: 



Eine, periodische Suhstitutionsgruppe^ die keine inßnitesiiualen Opera- 

 tionen enthält^ ist eine endliche Gruppe. 



§3- 

 Nach dem Vorgange von Hrn. Frobenius (vgl. die in der Ein- 

 leitung zitierte Arbeit) soll, wenn »S' eine beliebige lineare Substitution 

 in n Variabein ist, die Quadratsumme der absoluten Beträge der ?i^ 

 Koeffizienten von S mit ^{S) bezeichnet werden. Für jede unitäre 

 Substitution U ist dann 



>(S) = >(?/S) = p{SU) = ^(i-~'SU). 



Es gilt ferner, wie Hr. Frobenius gezeigt hat, folgender Satz: 

 Sind A und B zwei unitäre Substitutionen einer endlichen Gruppe 

 und ist 



(5.) HE~A)<^, ^{E-B)<A, 



so ist A mit B vertauschbar. 



' \ gl. L. BiEiJERBACu, Über t/ie Beiopipingsgruppfin der Euklidische?i Rihime (§ 9), 

 Math. Annalen, Bd. 70, S. 297. 



